Особые случаи численного интегрирования

К особым случаям численного интегрирования относятся следующие.

1. Несобственные интегралы, то есть хотя бы один из пределов интегрирования равен бесконечности или подынтегральная функция хотя бы в одной точке участка интегрирования обращается в бесконечность.

2. Подынтегральная функция терпит разрыв.

Рассмотрим случай разрывной функции. Если в точке имеет место разрыв первого рода, то есть левосторонний и правосторонний пределы существуют и конечны в точке разрыва, то

.

Если имеет место разрыв второго рода, то задача сводится к вычислению несобственного интеграла.

Общего метода численного нахождения несобственных интегралов не существует.

Рассмотрим случай, когда один из пределов интегрирования, например, верхний, равен бесконечности, то есть . Можно попытаться определить такое число B – верхний предел интегрирования, для которого . Тогда

.

Можно попытаться провести замену переменной так, чтобы после преобразований промежуток интегрирования стал конечным. Например, преобразование позволяет свести промежуток к отрезку . Но нужно следить за тем, чтобы при такой замене подынтегральная функция оставалась бы ограниченной.

Рассмотрим случай несобственного интеграла, когда подынтегральная функция обращается в бесконечность в некоторой точке интегрирования. Можно попытаться выделить особенность, то есть представить подынтегральную функцию в виде так, чтобы неограниченность была сосредоточена на функции , а несобственный интеграл от можно было вычислить аналитически; функция ограничена, и к ней можно применить методы численного интегрирования. То есть

,

причем первый интеграл вычисляем численно, второй – аналитически.

Дата добавления: 2014-01-14