Коды с единственной проверкой на четность

Простейший помехоустойчивый код для обнаружения ошибок можно получить, если ввести одну проверку на четность по всем элементам без избыточного сообщения, т.е. к передаваемому k – разрядному сообщению добавить еще один разряд, являющийся результатом суммирования всех элементов сообщения по модулю 2:

.

Полученный таким образом код является групповым и может быть обозначен (n, n- 1) –код. Проверочная матрица (n, n- 1) –кода состоит из одной строки и n столбцов. В качестве всех столбцов проверочной матрицы записываются 1, т.к. проверкой охватываются все элементы сообщения: .

Так как все столбцы проверочной матрицы одинаковы, то минимальное кодовое расстояние в (n, n- 1) –коде равно 2, т.е. (n, n- 1) –код гарантийно обнаруживает все однократные ошибки.

В каждой кодовой комбинации (n, n- 1) –кода имеется четное число единиц. Таким образом, код дополнительно может обнаружить все ошибки, приводящие к изменению четности единиц, т.е. ошибки любой нечетной кратности.

Итак, (n, n-1) –коды обнаруживают все ошибки нечетных кратностей

Ошибки же четной кратности кодом не обнаруживаются. Доля необнаруживаемых кодом ошибок составляет , т.к. не обнаруживается ровно половина возможных ошибочных трансформаций.

Пример 5.12. Одним из первых помехоустойчивых кодов, нашедших применение на практике, является шестиэлементный код, получаемый из пятиэлементного простого кода добавлением одного избыточного элемента так, чтобы число единиц и нулей в каждой кодовой комбинации было четным.

Этот код является групповым (6, 5) – кодом. Порождающая матрица и матрица проверок этого кода имеют вид:

По виду матрицы Н _(6,5) можно сделать вывод, что данный код имеет d_min =2, т.е. гарантийно обнаруживает все одиночные ошибки.

Построение кодирующего и декодирующего устройств для (6, 5) – кода, как для циклического кода с порождающим многочленом , будет показано ниже.

Вероятность необнаружения ошибок (n, n- 1) –кода в канале с группированием равна

.

Вероятность появления ошибок в n – элементной комбинации простого кода равна:

.

Подсчитаем выигрыш по достоверности, обеспечиваемый (n, n- 1) –кодами:

.

Учитывая пределы изменения показателя группирования , находим, что (n, n- 1) – коды обеспечивают повышение достоверности по сравнению с простыми кодами той же длины в раза.

Дата добавления: 2014-01-14