Укороченные РС-коды

Пример 7.3

Расширением РС-кода (3,2) с g (x)= x +α и D =2 является РС-код (4,2) с D =3, порождающий многочлен которого равен g (x)=(x +1)(x +α)= x ²+α² x +α, а порождающая матрица имеет вид

.

РС-коды, как и всякие групповые коды, можно укорачивать за счет сокращения числа информационных элементов. Очевидно, что при этом кодовое расстояние укороченного кода остается в точности тем же, что у исходного кода D = N – K+ 1. В общем случае укороченный РС-код в отличие от исходного не является циклическим.

Существует также способ построения циклического РС-кода над полем GF (q) с длиной кодовой комбинации N < q –1. Рассмотрим, как определяется порождающий многочлен для такого РС-кода. Если α–примитивный элемент GF (q), то его порядок l = q –1 и каждый ненулевой элемент GF (q) может быть найден, как некоторая степень α. Порядок l_s каждого элемента α ^s Î GF (q) является делителем q –1, так как для каждого α ^s Î GF (q) справедливо равенство:

(α^s) ^{q –1}=1.

Пусть в поле GF (q) существует элемент α ^s, порядок которого 1< l_s < q –1. Тогда совокупность элементов 1, α ^s, α^{2 s}, …, образует подгруппу, которая состоит из всех степеней одного из ее элементов, т.е. является циклической и совместно с нулевым элементом образует подполе поля GF (q), т.е. является корнями многочлена .

Значит справедливо

.>

Таким образом, если в GF (q) существует элемент α ^s, порядок которого 1<l_s<-1, то возможно построение циклического РС-кода над GF (q) с длиной кодовой комбинации N = l_s и порождающим многочленом

.

Пример 7.4

В поле GF (2⁸) существует элемент α¹⁵, порядок которого равен l ₁₅=17, следовательно, возможен РС-код над GF (2⁸) с N =17.

Другой способ получения укороченных РС-кодов состоит в следующем. В выражении

произведем подстановку x ® x^m. Тогда получим

.

Можно доказать, что многочлен x^m –α ^is принадлежит показателю ml_s, из чего вытекает, что с помощью порождающего многочлена

может быть построен РС-код с N=ml_s, состоящий из m чередующихся кодовых комбинаций РС-кодов длины l_s.

Дата добавления: 2014-01-14