Динамическая модель системы деформируемых тел с распределенными параметрами

В предыдущих разделах рассмотрены динамическая модель системы состоящих из твердых тел, соединенных упругими связями. Однако с развитием возможностей, представляемых вычислительной техникой в исследуемые динамические модели изделий все чаще включают элементы конструкции, рассматриваемые как деформируемые тела с распределенными параметрами. В задачах артиллерийской тематики к числу таких задач относятся изучение динамики стрельбы орудий стреляющих прямой наводкой, стреляющих с ходу, изучение динамики отдельных механизмов и др.

Более подробно такого класса задачи будут сформулированы во второй части моего курса и ряде других дисциплин.

В этом разделе рассказывается о принципах решения таких систем.

Существует несколько подходов к решению систем с распределенными параметрами.

Для протяженных конструкций типа балок и оболочек решение таких задач может быть представлено как решение численными методами конечных разностей дифференциального уравнения в частых производных. На рис. 22 представлена схема такой конструкции.

На балку действует сосредоточенная или распределенная по кусочно-линейному закону динамическая нагрузка q(x,t), правый фронт которой бежит со скоростью V(t) и ускорением a(t). Будем рассматривать только поперечные перемещения балки W(x,t), которые являются определяющими.

Рассматривая равновесие элементов балки можно получить единое дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных типа С.П. Тимошенко.

,

где D^* = EI -жесткость балки на изгиб;

m^* = m₀ =const- интенсивность массы балки, кг/мм;

растягивающая сила для балки, Н;

коэффициент жесткости упругого основания, Н/мм²;

коэффициент вязкости упругого основания, Н∙с/мм²;

q^*(x,t)= q(x,t)- внешняя нагрузка для балки, Н/мм

Граничные условия:

где угол поворота сечения.

Начальные условия:

При t=0 W=f₀(x); ¶W/¶t= f₁(x);

Если балку по длине разделить на несколько (много) обычно равных элементов, то снова получается система, состоящая из твердых тел и упругих связей. Вследствие регулярности такой модели, она может быть описана достаточно просто, представлением частных производных конечными разностями.

Например (см рис), поставим в соответствие каждому i- элементу на балке координату xi, соответствующую его положению на балке, и координату Wi, соответствующую его смещению.

Частные производные можно представить следующим образом:

Для каждого элемента можно записать вышеуказанное уравнение, выразив в нем частные производные. Для граничных элементов учесть граничные условия, выразив их также через конечные разности.

Тогда получим систему из N (по числу элементов) обыкновенных дифференциальных уравнений колебаний:

При заданных начальных условиях эта система может быть решена аналогично тому, как мы осуществляли ранее.

Появившаяся особенность в решении, что существенно добавилось количество простейших ЭФМ (массивных и упругих звеньев).

Для более сложных конструкций деформируемых тел с распределенными параметрами применяется хорошо ныне отработанная и широко используемая схема конечных элементов

Схема конечно-элементной модели такой системы показана на рисунке 23

Рис 23 – Общая схема конечно-элементной модели

Типичными конечными элементами в случае плоской задачи являются треугольные элементы, а в случае пространственной тетраэдры. Динамическая задача реализуется включением в состав объемных сил, действующих на элемент сил Даламбера.

Общий вид системы уравнений в частных производных, описывающей конечно-элементную систему с распределенными параметрами имеет вид:

при начальных условиях и соответствующих схеме закрепления граничных условиях.

Здесь: - перемещения контактных узлов конечных элементов;

- клеточная матрица масс системы, представляющая совокупность матриц масс ее конечных элементов;

- клеточная матрица жесткости системы, представляющая совокупность матриц жесткости ее конечных элементов;

- клеточная матрица демпфирования системы.

Решение задач динамики конструкций с распределенными параметрами всегда осуществляется численными методами. Методы построения и решения задач методами конечного элемента описаны в целом ряде источников /9.11-9.13/ и реализованы в большом количестве программных комплексов.

Инженер, осуществляющий решение динамической задачи, использующий описываемую модель должен научиться рационально выбирать вид конечного элемента, необходимый размер элементов в зависимости от изучаемого участка конструкции, уметь последовательно изменять размер элементов, добиваясь устойчивости решения задачи и решения ее в разумные сроки.

Динамическая модель системы деформируемых тел с распределенными параметрами эффективно используется при определении напряженно-деформированного состояния тяжело нагруженных конструкций деталей автоматики (экстракторы, кривошипы, запирающие элементы затвора), корпусов шасси, башни, опорных плит миномета и других. Применение ее для определения возмущений, получаемых снарядом в процессе выстрела, позволяет провести оценку меткости и кучности стрельбы орудий с достаточной точностью.

Дата добавления: 2014-01-14