Синтез логических функций

Для синтеза логической функции существуют две основные формы записи логических выражений:

1) совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ), представляющая собой дизъюнкцию конъюнкций логических переменных; иными словами, логическая сумма слагаемых, каждое из которых является логическим произведением переменных и называется «термом»:

,

где D_i – дизъюнкт (терм), n – число дизъюнктов в выражении;

2) совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ), представляющая собой конъюнкцию дизъюнкций, иначе называемую записью по нулю:

,

где K_i – конъюнкт, n – число конъюнктов.

Правило записи выражения в СДНФ: если в строке, где значение функции равно F = «1», какая-либо переменная принимает значение «1», то эта переменная записывается в дизъюнкт в чистом виде, если принимает значение «0», то с отрицанием.

Рисунок 11.16

Правило записи выражения в СКНФ: если в строке, где значение функции равно F = «0», какая-либо переменная принимает значение «0», то эта переменная записывается в конъюнкт в чистом виде, если принимает значение «1», то с отрицанием.

Так, для функции F по табл. Х имеем СДНФ:

или то же самое в более простой записи:

.

Для упрощения записи логических функций используются:

- логические преобразования,

- карты Карно,

- диаграммы Вейтча,

- методы целенаправленного перебора (алгоритм Мак-Класки).

Рассмотрим метод упрощения полученного логического выражения с помощью карты Карно. Карта Карно представляет собой особый вид таблиц состояний, имеющих прямоугольный вид и состоящих из 2ⁿ квадратов, где n – число входных переменных. Стороны карты помечаются именами переменных таким образом, чтобы половина карты соответствовала «1»-му значению переменной, а другая – «0»-му, причем в карте должны быть учтены все возможные сочетания значений переменных (состояния входов). В результате каждая ячейка карты будет соответствовать определенному набору значений входных переменных. В ячейки заносятся соответствующие значения минимизируемой функции. Так, для рассматриваемого примера карта представлена на рисунке 11.16.

Далее для записи выражения в СДНФ производятся объединения ячеек карты, содержащих «1» так, чтобы данные ячейки образовывали прямоугольники или квадраты размером 1, 2, 4, 8, 16 и т.д. ячеек. Каждый такой прямоугольник будет соответствовать своему терму, причем, чем он больше, тем проще будет терм. Прямоугольники могут пересекаться.

После этого записываются термы по принципу: если данному прямоугольнику соответствует «1»-е значение какой-либо переменной, то данная переменная входит в терм в чистом виде; если «0»-е значение, то в инверсном; если соответствует как «1»-е, так и «0»-е, то в терм переменная не входит. Наконец, термы объединяются в логическое выражение с помощью функций дизъюнкции. Для рассматриваемого примера получено выражение, состоящее из трех термов:

.

Запись выражений в СКНФ производится аналогично, но объединяются ячейки с нулями. Термы записываются в виде дизъюнкции переменных по принципу: если прямоугольнику соответствует «1»-е значение какой-либо переменной, то данная переменная входит в конъюнкт в инверсном виде; если «0»-е значение, то в чистом; если соответствует как «1»-е, так и «0»-е, то в конъюнкт переменная не входит. После конъюнкты объединяются функциями конъюнкции. Для рассматриваемого примера:

.

Реализация выражения СДНФ для данного примера на логических элементах приведена на рисунке 11.17, в виде электрической схемы – на рисунке 11.18. Пунктиром показаны взаимосвязанные ключи.

Рисунок 11.17

Рисунок 11.18

Из логических выражений подобного вида могут быть образованы логические последовательности, описывающие процессы принятия решений.

Пример разработки схемы управляющего устройства для электрической печи (см. рисунок 11.1). Продукт должен обрабатываться в печи при определенной температуре в течение определенного времени. Для контроля температуры установлен ртутный термометр с контактами (РТК), замыкающимися столбиком ртути при превышении температурой заданного значения. Для контроля времени установлен таймер, замыкающий свои контакты по истечении установленного времени. Для поддержания температуры в печи установлен нагреватель Н, включение которого производится ключом К.

Требуется разработать логическое управляющее устройство для данного объекта.

Для составления логического выражения вводятся логические переменные:

входные сигналы управляющего устройства

Т – контакты РТК (Т = 1, если температура выше заданной),

М – контакты таймера (М = 1, если отсчет времени закончен);

выходной сигнал управляющего устройства

К – команда на подачу напряжения на Н (К = 1, если требуется

включить нагреватель).

Тогда логику работы управляющего устройства можно записать в виде правила:

если Т = 0 и М = 0, то К = 1.

Иными словами, нагреватель должен быть включен в том случае, когда температура ниже заданной и таймер еще не отработал установленное время.

Логическое выражение:

К = Т М.

Реализация схемы приведена на рисунке 11.19.

Пример разработки логического устройства для диагностики исправностей датчиков уровня в емкости. Уровень жидкости в емкости контролируется тремя датчиками уровня: D₁ – установлен на дне емкости, D₂ – в середине емкости, D₃ – установлен в верхней части емкости. Когда уровень в емкости достигает какого-либо датчика, жидкость замыкает его контакты и датчик срабатывает. Требуется разработать устройство, включающее лампочку Y, если какой-либо датчик неисправен.

О неисправности датчика можно судить по нелогичности его поведения, например, если он не срабатывает, хотя датчик, установленный выше него, показывает наличие жидкости. Здесь можно выделить четыре случая неисправностей, когда должна загораться лампочка:

1) если D₁ = 1 (есть жидкость на уровне датчика D₁), D₂ = 0, D₃ = 1, то, следовательно, неисправен датчик D₂, либо датчик D₃ неверно сработал;

2) если D₁ = 0, D₂ = 1, D₃ = 0, то неисправность D₁ или D₂;

3) если D₁ = 0, D₂ = 1, D₃ = 1, то неисправность D₁;

4) если D₁ = 0, D₂ = 0, D₃ = 1, то неисправность D₃.

Поскольку имеется несколько правил управления, наглядно представить значения функции Y в виде карты Карно. Каждое правило соответствует своей «1» в карте (см. рисунок 11.20,а).

.

а) б)

Рисунок 11.20

По карте можно выделить два контура, объединяющие по две единицы. Выражения для термов:

Т₁ = D₁ D₂ и T₂ = D₂ D₃.

Логическое выражение:

Y = T₁ + T₂ = D₁ D₂ + D₂ D₃.

Реализация схемы приведена на рисунке 11.20,б.

Дата добавления: 2014-01-14