Основные свойства пределов

Теорема 7.1. Функция в точке имеет предел А тогда и только тогда, когда где - бесконечно малая в точке .

Доказательство. Из определений 5.2 и 6.1 следует, что равенство равносильно соотношению . Обозначив бесконечно малую через , получим утверждение теоремы.

Теорема 7.2. Функция может иметь только один предел.

Доказательство. Пусть А и В - предельные значения в точке . Тогда по теореме 7.1 справедливы представления и , где и - бесконечно малые в точке . Вычитая эти равенства, получим По теореме 6.2 разность есть бесконечно малая в точке . Так как эта бесконечно малая равна постоянной В-А, то в силу теоремы 6.5 В-А=0 или А=В.

Теорема 7.3. Функция , имеющая предел в точке , ограничена в этой точке.

Доказательство. Пусть . Тогда по теореме 7.1 имеет место

, (7.1)

где - бесконечно малая в точке . Так как бесконечно малая ограничена в точке (см. теорему 6.3), то существует число такое, что

(7.2)

в окрестности точки . Из (7.1) по свойству модуля находим . Отсюда, согласно (7.2), в окрестности точки , что и означает ограниченность функции в точке .

Лемма 7.1. Если функция в точке имеет предел , то в некоторой окрестности этой точки определена функция которая является ограниченной в точке .

Доказательство. Пусть . По определению предела в точке для выбранного , найдется такое, что при всех . Отсюда по свойству модуля или . Следовательно, в указанной окрестности функция определена и ограничена числом .

Теорема 7.4. Если функции и в точке имеют пределы А и В соответственно, то в этой точке существуют пределы их суммы, разности, произведения и частного (последнее при условии причем

,

.

Доказательство. Рассмотрим случай частного, как наиболее сложный. Пусть , . Тогда по лемме 7.1 в некоторой окрестности точки функция определена и ограничена. В этой окрестности мы и будем рассматривать функцию . По теореме 7.1 справедливы представления , , где и - бесконечно малые в точке Отсюда

(7.3)

По свойствам бесконечно малых есть бесконечно малая в точке , а ограничена в точке . По теореме 6.4 функция - бесконечно малая в точке . Обозначим эту бесконечно малую через .

Тогда в силу 7.3 имеет место представление , где - бесконечно малая в точке . Отсюда по теореме 7.1 .

Следствие 7.1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела, т.е. .

В самом деле, по теореме 7.4 .

Пусть функции , i=1,2…….n заданы в проколотой окрестности точки , а функция задана в проколотой окрестности точки , причем . В этом случае в окрестности будет определена сложная функция .

Теорема 7.5. Если

, (7.4)

, (7.5)

то .

Доказательство. Зафиксируем любое . По определению предела (7.5), для выбранного найдется число такое, что

(7.6)

при всех . Далее, по определению пределов (7.4), для найдутся такие, что

(7.7)

при всех .

Положим . Тогда для всех будут одновременно выполняться все неравенства (7.7). Отсюда для имеем , т.е. . Но тогда в силу (7.6) получаем при всех , т.е. .

В случае функций одной переменной теорема 7.5 формулируется следующим образом: Если , а то .

Дата добавления: 2014-01-14