Оператор, сопряженный данному, его матрица

Пусть E_n — евклидово пространство и A L(E_n,) — линейное отображение (оператор).

Определение 2. Линейный оператор A^*, действующий в пространстве E_n, называется сопряженным к оператору A, если для любых x, y E_n выполняется (A (x), y) = (x, A^∗ (y)).

Теорема 1. В евклидовом пространстве для каждого оператора существует сопряженный оператор и притом только один. В ортонормированном базисе матрица A^∗ сопряженного оператора A^∗ связана с матрицей A исходного оператора A формулой A^∗ = A^T, т. е. посредством транспонирования.

??? Как в произвольном базисе матрица A^∗ сопряженного оператора связана с матрицей A исходного оператора.

Свойства сопряженных операторов:

Пусть A, B L(E_n), A^*, B^* - сопряженные операторы,

1. I – тождественный = > I^* = I

2. (A^*)^* = A

3. (λA + µ B)^* = λA^* + µ B^*

4. (A B)^* = B^* A^*

5. (A^-1)^* = (A^*)^-1

Дата добавления: 2014-01-14