Теорема Лагранжа

Геометрический смысл.

Замечание 1. Теорема справедлива, если f(a)=f(b).

Замечание 2. Если производная не существует во всех точках внутри [a,b], то утверждение может оказаться не верным.

[-1,1]

[0,2]

Если функция y=f(x) непрерывна на [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках [a,b], то внутри промежутка [a,b] существует по крайней мере одна точка c, a<c<b, что

f(b)-f(a)=f^|(c)(b-a)

Док-во.

Обозначим Q= (f(b)-f(a))/(b-a).

Рассмотрим функцию F(x)=f(x)-f(a)-(x-a)Q

Запишем уравнение хорды AB

F - разность ординат кривой f(x) и хорды AB.

F – непрерывна на [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках.

F(a) = 0; F(b)= f(b)-f(a)-Q(b-a)=0

Следовательно F удовлетворяет всем требованиям т. Роkля

F`=f`(x)-Q

x=c; F(c) = 0; f^|(c)-Q =0

f(b)-f(a)=f^|(c)(b-a) Q= tgб= f^|(c)

Если во всех т. дуги AB существует касательная, то найдется т. С, в которой касательная параллельная хорде AB.

Т. x_0, , x₀+, [x₀,x₀+]

где

Дата добавления: 2014-01-14