Понятие суммы ряда

Определим по данному ряду последовательность:

Величина s_n называются n-ой частичной суммой.

Определение. Предел последовательности s_n, если он существует, называется суммой ряда (1).

(2)

Определение. Если предел последовательности s_n существует, то говорят, что ряд (1) сходится. Если предел последовательности s_n не существует или равен бесконечности, то говорят, что ряд (1) расходится.

Пример. Рассмотрим ряд

Построим частичную сумму.

Тогда

Если -1<q<1, то

и ряд сходится. Сумма ряда равна

Если çqç>1, то

и ряд расходится.

Дадим геометрическую иллюстрацию. Построим на отрезке [0,1] прямоугольник с высотой 2. Разделим его на две равные части и верхнюю часть перенесем вниз. Этот прямоугольник высоты 1 разделим его на две равные части и верхнюю часть перенесем вниз. Продолжим этот процесс бесконечно. В результате получим бесконечную ступенчатую заштрихованную фигурку. Ее площадь равна площади исходного прямоугольника.

Рис. 1. Геометрическая иллюстрация к определению суммы ряда

Определение. Если предел последовательности s_n равен бесконечности, то говорят, что сумма ряда (1) равна бесконечности.

Для расходящихся рядов обычные алгебраические свойства, вообще говоря, не имеют места. Например

1-1+1-1+1-1+...

Расставим скобки

(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0.

1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)...=1.

Работать можно только со сходящимися рядами.

Дата добавления: 2014-01-14