Необходимый признак сходимости ряда

Алгебраические свойства сумм ряда

Теорема. Если ряды

(3)

(4)

сходятся, то сходятся и ряд

и его сумма равна s±s.

Теорема. Если ряд (3) сходится и l=const, то сходится и ряд

(5)

и его сумма равна ls.

Доказательство разобрать самостоятельно по учебнику.

Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд (3) сходится, то

(6)

Доказательство. Пусть ряд (3) сходится. Это значит, что равенство (2) выполняется и существует предел

Очевидно, что

Тогда

Или

Перейдем к пределу в этом равенстве

Теорема доказана.

Необходимое условие не является достаточным. Т. е. если выполнено условие (6), это, вообще говоря, еще не значит, что ряд сходится.

Пример. Рассмотрим ряд

Этот ряд называется гармоническим. Проведем группировку и рассмотрим ряд

Частичная сумма второго ряда равна

.

Ясно, что

Второй ряд расходится. Так как члены первого ряда больше или равны членов второго, то по признаку сравнения (см. п.4) первый ряд расходится тоже.

Содержательная информация из необходимого признака сходимости стоит в том, что, если предел (6) не существует или не равен нулю, то ряд расходится.

Дата добавления: 2014-01-14