Исследование функции

1. Найти область определение, точки разрыва.

2. Простейшие свойства (четность, периодичность, пересечение с осями).

3. Асимптоты (вертикальные, наклонные).

4. Критические точки первого рода (f`(x)=0 f`- не сущ.)

5. Критические точки второго рода (f``(x)=0 f``- не сущ.)

6. Интервалы возрастания и убывания.

7. Экстремумы.

8. Интервалы выпуклости и вогнутости.

9. Точки перегиба.

10. График функции (нанести асимптоты, нанести характерные точки, соединить плавной линией, учитывая результаты исследования).

Пример 1.

1. Найти область определение. Функция не определена в точках, где знаменатель обращается в нуль, т.е. при ,, следовательно, .

2. Определим точки пересечения графика с координатными осями. Единственной такой точкой будет O(0,0).

3. Исследуем функцию на четность, нечетность, периодичность. Имеем

следовательно f(x)- нечетная.

4. определим точки возможного экстремума. Для этого найдем производную.

точки не являются точками экстремума, т.к. они не входят в область определения функции.

5. Определим точки возможного перегиба. Для этого найдем вторую производную.

6. На основании п.п. 4,5, найдем промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, промежутки выпуклости, и точки перегиба. Результаты исследования удобно оформить в виде таблицы, в которой отражены изменения знака первой и второй производных.

x
f`(x)	-	-	-	Не сущ.	-		+
f``(x)	+		-	Не сущ.	+	+	+
f(x)	Убыв., вып. вниз	Т. перегиба f(x)=0	Убыв. вып. вверх	Не сущ.	Убыв. вып. вниз	Min f(3)=4,5	Возр. Вып. вниз

7. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот.

Найдем вертикальные асимптоты.

,

- вертикальная асимптота.

y=x – наклонная асимптота.

8.

Используя результаты, строим график, функции, предварительно нанеся на чертеж точки пересечения с осями координат, точки экстремума, точки перегиба и асимптоты.

Пример 2.

1.

2. общего вида

3. (0,0)

4. Вертикальных нет

5.

6.

x			0,4/3	4/3	4/3,2		2,
y^|	-	н.с.	+		-	н.с.	-
y^||	-	н.с.	-		-		+
y				max		т.п. y=0

Дата добавления: 2014-01-14