Исследование сходимости знакоположительных рядов

Лекция 17

Признак Д’Аламбера. Если для ряда (3) с положительными членами существует предел

(7)

то, если

1) q<1, ряд сходится.

2) q>1, ряд расходится.

3) q=1, исследование нужно продолжать. Ряд может и сходиться и расходиться.

Доказательство.

Пусть выполнены условия теоремы и предел (7) существует. Это значит, что для любого как угодно малого e>0, начиная с некоторого номера N, выполнено для всех n>N неравенство

Или

Пусть q<1. Выберем e>0 так, чтобы l =q+e<1. Для этого нужно выбрать e< 1 - q. Тогда

.......

Видим, что, начиная с некоторого номера, все члены остатка ряда (3) меньше, чем члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии. И следовательно ряд (3) сходится. Случай q>1 разобрать самостоятельно по учебнику.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Находим

Ряд сходится.

Радикальный признак Коши. Если для ряда (3) с положительными членами существует предел

(8)

то

1) q<1, ряд сходится.

2) q>1, ряд расходится.

3) q=1, исследование нужно продолжать. Ряд может и сходиться и расходиться.

Доказательство проводится аналогично. Разобрать самостоятельно по учебнику.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Находим

Ряд сходится.

Интегральный признак Коши. Если для ряда (3) с положительными членами существует функция y=f(x) такая, что

1) u_n=f(n), начиная с некоторого номера N.

2) функция y=f(x) непрерывная и монотонная на интервале (N;¥)

то ряд (3) и интеграл

сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда f(x)®0 при x ®¥. Изобразим на рис график функции и ступенчатую фигурку. Площадь ступенчатой фигурки равна остатку ряда. Видим

y

y=f(x)

Рис. 2. Геометрическая иллюстрация к определению суммы ряда

Если интеграл сходится, то сходится и ряд. Аналогично, если интеграл расходится, то расходится и ряд. Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим ряд

(9)

Введем интеграл

Видим, что интеграл сходится при s>1 и расходится при s<1. Ряд (9) называется рядом Дирихле.

Дата добавления: 2014-01-14