Понятие абсолютной и условной сходимости

Знакопеременные ряды

Если ряд содержит только отрицательные слагаемые, то можно вынести знак минус за скобку и исследовать полученный в скобках положительный ряд. Пусть ряд содержит конечное число отрицательных членов и бесконечное число положительных. Отбросим N первых слагаемых, где N достаточно большое число так, чтобы среди отброшенных оказались все отрицательные члены. Снова исследование сходимости сведется к исследованию положительного остатка. Аналогично поступают при исследовании ряда, который содержит бесконечное число отрицательных членов и конечное число положительных.

Пусть ряд содержит бесконечное число и положительных и отрицательных членов.

(1)

Рассмотрим ряд составленный из абсолютных величин

(2)

Теорема. Пусть ряд (2) сходится, тогда ряд (1) тоже сходится.

Доказательство. Пусть ряд (2) сходится. Это значит, что существует предел

Обозначим s_n сумму n первых слагаемых ряда (1). Обозначим s_n⁺ и s_n^- сумму слагаемых соответственно с положительными и отрицательными слагаемыми этой частной суммы ряда (1). Обозначим s_n сумму n первых слагаемых ряда (2). Тогда

(3)

Так как величины s_n⁺ и s_n^- изменяются с ростом n монотонно, то пределы слагаемых существуют и

Из неравенства (3) следует

.

Тогда существуют пределы

Следовательно, ряд (1) сходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Составим ряд из абсолютных величин

Этот ряд сходится по признаку Дирихле. Следовательно, исходный тоже сходится.

Определение. Если сходится ряд (2), то ряд (1) называется абсолютно- сходящимся. Если сходится ряд (1), а ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно-сходящимся.

Абсолютно-сходящийся ряд содержит отрицательную и положительную части ряда. И каждая из них сходится. Условно-сходящийся ряд тоже содержит отрицательную и положительную части ряда. И каждая из них расходится.

Дата добавления: 2014-01-14