Исследование области сходимости степенных рядов

Для исследования сходимости наиболее удобно применять признак Даламбера или радикальный признак Коши. Пусть коэффициенты ряда не содержат нулевых значений и изменяются монотонно. Применим признак Даламбера

Если предел меньше 1, то ряд сходится, если предел больше 1, то ряд расходится. Пусть предел

Тогда ряд сходится при условии çxç l <1 или çxç<1/ l =R. Откуда находим -R<x<R.

Пример. Исследовать область сходимости

Применим признак Даламбера

Ряд сходится, если

Исследуем концы. Положим x=2, получим

Получили гармонический ряд. Ряд расходится. Положим x=-2, получим

Получили знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница ряд сходится. Следовательно, область сходимости ряда

Дата добавления: 2014-01-14