Формула Тейлора. Пусть дана функция y=f(x), дифференцируемая n+1 раз в окрестности точки x=x0

Ряды Тейлора

Лекция 19

Пусть дана функция y=f(x), дифференцируемая n+1 раз в окрестности точки x=x₀. Поставим задачу, построить более простую функцию, которая наилучшим образом приближается к функции y=f(x), хотя бы в окрестности точки x=x₀. Ответ к этой задаче сильно зависит от того, в каком классе функций ищется приближение, и в каком смысле понимать наилучшее приближение. Среди функций наиболее просто “устроенными” являются многочлены. Будем искать решение в виде многочлена n-й степени вида:

(1)

Потребуем, чтобы для многочлена и функции их значения и значения производных до n-го порядка совпадали. Т. е. чтобы выполнялись условия:

(2)

При выполнении этих условий следует ожидать, что многочлен (1) будет в какой-то мере близок к функции y=¦(x), хотя бы в некоторой окрестности точки x=x₀. Подставим в равенство (1) значение x=x₀ и потребуем выполнения первого условия равенства (2). Получим

(3)

Продифференцируем равенство (1). Получим

(4)

Подставим в равенство (4) значение x=x₀ и потребуем выполнения второго условия равенства (2). Получим

Откуда

(5)

Продифференцируем равенство (4). Получим

(6)

Подставим в равенство (6) значение x=x₀ и потребуем выполнения третьего условия равенства (2). Получим

Откуда

(7)

Продифференцируем равенство (4). Получим

(8)

Подставим в равенство (8) значение x=x₀ и потребуем выполнения третьего условия равенства (2). Получим

Дата добавления: 2014-01-14