Выражений

Интегрирование некоторых иррациональных

Интегрирование не всякого иррационального выражения возможно в элементарных функциях. В некоторых простейших случаях иррациональные функции можно рационализировать с помощью замены переменной, а значит и проинтегрировать в конечном виде.

1. Интегрирование функций вида R ( x, ,,…)

Здесь символ R указывает, что над величинами x,… выполняются только рациональные операции: сложение, вычитание, умножение, и деление. Например:

Пусть надо вычислить интеграл, где числа m, n, … могут быть и отрицательными. Подберём число N так, чтобы при замене переменной x = tⁿ все корни извлекались. (N – НОК чисел m, n,…). Тогда:

и =

Так как все числа; N-1 – целые, то подынтегральная функция не содержит дробных степеней t, т.е. является дробно – рациональной функцией от t.

Пример:

2. Интегрирование выражений вида

Ничего не изменяется по сравнению с предыдущим случаем, если все подкоренные выражения являются одной и той же дробно – рациональной функцией. В этом случае делаем замену: где N –наименьшее общее кратное чисел m, n,…. Находим х:

Здесь х = φ(t) – рациональная функция от t, поэтому – тоже рациональная функция. Значит и является рациональным выражением. Таким образом, получаем:

Здесь целые числа. Поэтому получили интеграл от дробно – рациональной функции от t.

Пример:

3. Интегрирование выражений вида

Интеграл преобразуем к новой переменной, предварительно выделив полный квадрат:

Полагаем:

Тогда, если

тогде

тогде

тогде

Полученные интегралы рационализируются, например, с помощью тригонометрических подстановок:

1.

2.

3.,

Пример:

Дата добавления: 2014-01-14