КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Повторные интегралы и вычисление двойного интеграла
Пусть нам дан интеграл (3). Рассмотрим вначале случай, когда в области D, ограниченной некоторой линией g, задана непрерывная функция z=f(x,y) такая, что f(x,y)³0. Назовем область D правильной по оси Ox, если каждая прямая, лежащая внутри области D параллельная оси Oy, пересекает границу области не более, чем в двух точках. Спроектируем область D на ось Ox в отрезок [a,b]. Для этого через каждую точку области D проведем проектирующую прямую. Множество концов прямых, входящих в область D, т. е. нижних концов, лежащих на границе g, задают функцию. Обозначим ее y=j(x). Множество концов прямых, выходящих из области D, т. е. верхних концов, лежащих на границе g, задают функцию y=y(x). Иллюстрация дана на рис. 3. Возьмем значение x=xÎ[a,b], и проведем плоскость, параллельную плоскости Oyz. Получим сечение тела этой плоскостью. Обозначим площадь сечения S=Q(x). Тогда объем тела V равен
Площадь сечения равна
Тогда
Интеграл, стоящий в правой части, называется повторным. y y=y(x)
y=j(x)
O a b x
Рис. 3. Проектирование области D на ось Ox
y d
y=j1(x) y=y1(x)
c
O a b x
Рис. 4. Проектирование области D на ось Oy
Аналогично, спроектируем правильную по оси Oy область D на ось Oy в отрезок [c,d]. Для этого через каждую точку области D проведем проектирующую прямую, параллельную оси. Множество концов прямых, входящих в область D, т. е. левых концов, лежащих на границе g, задают функцию. Обозначим ее x =j1(y). Множество концов прямых, выходящих из области D, т. е. правых концов, лежащих на границе g, задают функцию x =y1(y). Тогда
Если область D неправильная, то разобьем ее на несколько правильных частей. Теорема. Если функция z=f(x,y) непрерывна в области D и интеграл (2) существует, то он равен повторному. (Без доказательства).
Пример. Вычислить интеграл
где область D ограничена линиями
Решение. Изобразим область D и сведем интеграл к повторному. y y=x
x2 – 2x + y2 = 0
O 2 x
Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 345; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |