Повторные интегралы и вычисление тройного интеграла

Пусть нам дан интеграл (2). Рассмотрим вначале случай, когда в области V, ограниченной некоторой поверхностью S, задана непрерывная функция u=f(x,y,z) такая, что f(x,y,z)³0. Предположим, что область V правильная. Это значит, что каждая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области не более, чем в двух точках. Спроектируем область V на плоскость Oxy в область D. Для этого через каждую точку области V проведем проектирующую прямую. Множество концов прямых, входящих в область V, т. е. нижних концов, лежащих на границе S, задают некоторую функцию. Обозначим ее z =j(x,y). Множество концов прямых, выходящих из области V, т. е. верхних концов, лежащих на границе S, задают функцию z=y (x,y). Иллюстрация дана на рис. 9.2.

Теорема. Тройной интеграл равен

(Без доказательства).

Интеграл, стоящий в правой части, называется повторным.

Спроектируем область D на ось Ox в отрезок [a,b]. Для этого через каждую точку области D проведем проектирующую прямую, параллельную оси Oy. Множество концов прямых, входящих в область D, т. е. нижних концов, лежащих на границе g, задают функцию y=j₁(x). Множество концов прямых, выходящих из области D, т. е. верхних концов, лежащих на границе g, задают функцию y=y₁(x).

Тогда

Аналогично, можно провести проектирование в другой последовательности.

Пример. Вычислить интеграл

где область V ограничена линиями

Решение. Изобразим область V и сведем интеграл к повторному.

Дата добавления: 2014-01-14