Определение1

Функция α(х) наз. бесконечно малой при х → х₀, если

Функция Ω(х) наз. бесконечно большой при х → х₀, если

Замечание. Говорят также о бесконечно малых и бесконечно больших при х → ± ∞ (т.е. в определении можно вместо х₀ писать ∞ или - ∞).

Определение 2. Пусть α(х) и β(х) – две бесконечно малых при

х → х₀. Говорят, что α(х) имеет больший порядок малости, чем β(х), если

Аналогично, если Φ(х) и Ψ(х) – две бесконечно больших при

х → х₀, то говорят, что Φ(х) имеет больший порядок роста, чем Ψ(х), если

Если же эти пределы равны некоторому числу, не равному 0 или ± ∞, то эти пары функций наз. величинами одного порядка малости или одного порядка роста, соответственно. В случае, когда эти пределы равны 1, соответствующие величины наз. эквивалентными.

Примеры.

При х → 0 бесконечно малые величины х, sin(x), tg(x), arcsin(x), ln(1 + x), e^x - 1 эквивалентны. Бесконечно малая x² имеет больший порядок малости, чем х, при х → 0.

При х → 0⁺бесконечно большая величина 1/xимеет больший порядок роста, чем - ln(x) Действительно,

.

Рассмотрим, что это означает графически. Построим графики обеих функций y = ln(x) и y = 1/x в окрестности точки х = 0 справа от оси Y.

Y

C

B y = - ln(x)

y = 1/x

A X

Дата добавления: 2014-01-14