Дифференциальное уравнение теплоотдачи

Диф. уравнение процесса и условия однозначности.

Математическое описание процесса конвективного теплообмена.

Влияние размеров.

Лекция №21.

Влияние размеров тела на решение и вид диф. уравнений неоднозначно при одних и тех же режимных условиях. При ламинарном режиме (далее просто ЛР) как и при турбулентном (далее ТР) увеличение линейных размеров ведет к увеличению толщины теплового погранслоя и, следовательно, к увеличению коэффициента теплоотдачи a. В то же время увеличение линейных размеров может привести к переходу от ЛР к ТР, что способствует увеличению теполоодачи.

При решении задачи конвективного теплообмена используется система диф. уравнений, которая основана на феноменологическом методе исследования процессов.

Прежде чем приступить к рассмотрению диф. уравнений необходимо ввести ряд ограничений в постановку задачи.

- Все рассматриваемые характеристики конвективного теплообмена являются непрерывными функциями координат и времени (среда является сплошной и однородной).

- Все теплофизические свойства жидкости – величины постоянные и не зависящие от температуры.

- Пренебрегаем сжимаемостью жидкости и все процессы считаем изобарными.

- Теплообмен излучением отсутствует.

Необходимо помнить, что основной задачей теории конв. теплообмена является получение зависимости для расчета коэффициента теплоотдачи.

Дифференциальное уравнение теплоотдачи связывает коэффициент теплоотдачи и температурное поле движущегося потока жидкости.

(1),

для определения a нужно знать температурное поле жидкости t=f(x,y,z,t) откуда можем найти .

Температурное поле можно определить, решая диф. уравнение переноса теплоты в потоке жидкости (диф. уравнение энергии).

Z

Y

Выделим в движущемся потоке жидкости, неподвижной относительно системы координат, элементарный параллелепипед dV, через грани которого теплота передается теплопроводностью и конвекцией, кроме того, в этом объеме теплота может выделяться за счет внутреннего источника теплоты q_v. Если рассмотреть баланс потоков тепла, подводимого к граням и отводимого от них, то мы получим диф. уравнение энергии вида уравнения теплопроводности твердого тела.

(*), где q_x, q_y, q_z – проекции вектора плотности теплового потока на направление нормали к соответствующим граням. (Вывод этого уравнения смотрите в лекции №3).

В конце XIX века Фурье одновременно с Остроградским высказал гипотезу о том, что плотность теплового потока движущейся жидкости равна сумме потоков теплоты за счет теплопроводности и конвекции. Эта гипотеза получила название гипотезы Остроградского – Фурье.

(1), q_Т – теплота, передаваемая за счет теплопроводности; q_к – теплота, передаваемая за счет конвекции.

В основе определения q_Т лежит закон Фурье: (2), а теплота конвекции:

(3), где r - плотность жидкости, ` W – вектор скорости движущейся жидкости, i – энтальпия жидкости.

С учетом (1), (2) и (3) получаем:

(4), с учетом этого:

,

дифференцируя полученные выражения повторно, получим:

(5),

кроме того, из термодинамики известно:

, но так как процесс изобарный, то , и тогда:

(6), подставляя (6) в (5) получаем:

(7),

подставляя (7) в (*), получим:

(**).

Как видно в уравнении четыре слагаемых в правой части. Третье слагаемое представляет собой левую часть уравнения неразрывности:

, или в векторной форме div`W=0.

Путем несложных арифметических операций уравнение (**) преобразуется к следующему виду:

(8), или в общем виде:

(9).

- субстационарная производная, рассматривает полное изменение величины t как во времени, так и в пространстве.

- локальная часть субстационарной производной, учитывающая только производную во времени.

– конвективная часть, учитывающая изменение температуры за счет движения среды.

Рассмотрим частный случай, когда `W = 0:

В этом случае уравнение (9) примет вид уравнения Фурье:

, таким образом, уравнение Фурье является частным случаем уравнения энергии.

Из всего выше сказанного можно сделать вывод, что температурное поле потока неразрывно связано с полем скорости.

Таким образом, для определения температурного поля необходимо знать поле скорости, а также необходимо дополнить систему уравнений энергии уравнением сплошности:

, которое в векторном виде запишется следующим образом:

, если считать, что , то , и уравнение примет вид:

, .

Уравнения неразрывности Навье–Стокса при постоянстве физических свойств жидкости имеет вид:

,,– проекции массовых сил на оси координат;

g – ускорение силы тяжести.

В общем случае считается, что физические параметры жидкости постоянны(r,с,m,l,=const), однако очень интересен случай, когда , что характерно при свободном движении жидкости.

Если рассмотреть этот случай в поле сил тяжести, т.е. , то можно ограничится приближенным учетом зависимости плотности от температуры.

Для упрощения направим ось Z по направлению силы тяжести:

Для учета зависимости плотности от температуры вводится понятие коэффициента объемного расширения b, причем предполагается, что b=const в рассмотренном диапазоне температур.

, в конечном виде , .

t – текущая температура у нагретой поверхности.

t₀ – температура основной массы жидкости.

Рассмотрим третье уравнение записанной нами системы. В отсутствии вынужденного движения изменение давления (gradP) вдоль оси oZ определяется плотностью основной массы жидкости:

.

При свободном движении жидкости имеем:

, с учетом этого имеем:

;

;

;

Последняя система уравнений называется системой дифференциальных уравнений свободного движения жидкости в поле сил тяжести.

Таким образом, система д.у. конвективного теплообмена состоит из:

дифференциальное уравнение теплопередачи;

дифференциальное уравнение энергии;

дифференциальное уравнение неразрывности;

дифференциальное уравнение движения.

Условия однозначности также как и для процесса теплопроводности включают в себя геометрические, физические, временные и граничные условия.

Граничные условия определяют условия на поверхности теплообмена и на границах потока и содержат граничные значения переменных и их производных.

ПРИМЕР:

Дата добавления: 2014-01-14