Формула для динамического коэффициента

Скорость движения точки соударения в момент удара

Скорость V точки соударения тел определяется по теореме об изменении количества движения, согласно которой при неупругом ударе количество движения до удара равно количеству движения после удара (см. курс теоретической механики), то есть

Запишем закон сохранения энергии для системы, испытывающей удар, согласно которому сумма кинетической энергии T системы в момент удара и работы A по перемещению груза Q на величину динамического перемещения δдин должна равняться потенциальной энергии динамической деформации системы

Найдем кинетическую энергию системы в момент удара:

Подставляя в эту формулу выражение для скорости V из формулы (21.2), получим

Работа груза Q на перемещении δдин:

Найдем потенциальную энергию деформации системы

Величину динамической нагрузки Qдин можно определить, зная величину статической нагрузки Q и динамический коэффициент

Подставляя найденные величины в выражение (21.3) и учитывая, что динамическое перемещение , получим

Решая полученное квадратичное уравнение, найдем

Если учесть, что груз падает с высоты h, то можем записать

Таким образом, для расчета конструкции при ударном нагружении необходимо определить напряжения и деформации в системе, как если бы она была загружена статической нагрузкой равной по величине нагрузке динамической (ударной). Затем найденные «статические» величины домножаются на динамический коэффициент (21.4):

Проанализируем формулу (21.4):

1) Мгновенная нагрузка (h=0 или Vo=0). При подстановке этих данных в формулу (21.4) получим, что kд=2. То есть, даже если груз мгновенно устанавливается на конструкцию с нулевой высоты или с нулевой скоростью, то напряжения в системе превышают соответствующие статические величины в два раза!

2) Расчет без учета массы груза по сравнению с массой конструкции (Qo<<Q, то есть Qo/Q≈0). В этом случае формула (21.4) приобретает следующий более простой вид, который наиболее часто используется в расчетной практике:

3) Способ снижения динамического коэффициента. Как видим из формул (21.4) и (21.5), едва ли не единственным способом снижения динамического коэффициента является увеличение величины δст – деформации конструкции при статическом нагружении. То есть при проектировании конструкций, работающих на удар, необходимо стремиться к увеличению податливости системы путем увеличения длины элементов конструкции, установкой буферных пружин (амортизаторов), замены материала другим, с меньшим модулем упругости («постелить соломку»), выравниванием площадей поперечного сечения.

Пример 1. Продольный удар

Проанализируем ударное воздействие груза весом Q при падении с высоты h на две колонны – ступенчатую с площадями ступеней A1 и A2 и длиной каждой из ступеней l, а также равномерную площадью A1 и длиной 3·l.

Необходимо сравнить динамические коэффициенты.

Решение

Рассмотрим статическое (неударное) приложение груза Q к колоннам и найдем статические напряжения и деформации каждой из них.

а) статические значения максимальных напряжений

б) статические значения абсолютных деформаций

Заметим, что , так как

в) динамический коэффициент по формуле (21.5)

Заметим, что , так как .

г) динамические значения напряжений и деформаций

Как видим, несмотря на то, что первая колонна имеет меньшую площадь сечения, динамические напряжения в ней будут меньше, чем в ступенчатой колонне, так как поглощение энергии удара во втором случае происходит не по всей длине стержня, а на наиболее ослабленном участке.

Пример 2. Ударный изгиб

Проанализируем ударное воздействие груза весом Q=1 кг при падении с высоты h=10 см на консольно закрепленную балку длиной l=0,75 м прямоугольного сечения 5×20 мм. Материал балки – сталь, [σ]=160 МПа.

Необходимо определить динамический коэффициент, напряжения и деформации в балке. Проверить на прочность.

Решение

Рассмотрим статическое (неударное) приложение груза Q к балке и найдем статические напряжения и деформации.

а) наибольшие статические значения напряжений

б) статические значения деформаций конца балки

в) динамический коэффициент по формуле (21.5)

г) динамические значения напряжений и деформаций

Как видим, динамические значения превышают не только соответствующие статические величины, но и допускаемые значения – прочность не обеспечена!

Дата добавления: 2014-01-14