Определение и существование криволинейного интеграла 2-го рода

Криволинейные интегралы

Лекция 22

Пусть в некоторой области D задано плоское силовое поле. Т. е. в области D вектор силы задается формулой:

F =P(x,y) i+Q (x,y) j =(P(x,y);Q(x,y) ).

Проведем в области D некоторый контур AB. Разобьем контур на достаточно большое число достаточно малых частей системой точек A=M₀,M₁,M₂,...,M_n=B. На каждом элементарном перемещении вычислим значения

P(x_i,y_i) Dx_i + Q(x_i,y_i)Dy_i

и просуммируем полученные значения.

(1)

Обозначим l= maxçM_i-1M_i ç. Начнем строить различные интегральные суммы так, чтобы l®0 и, соответственно, n®¥.

Определение. Предел интегральных сумм вида (1) при l®0, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения контура L на части, ни от выбора значений M_i(x_i,h_i) ÎDL_i на этих частях, называется криволинейныминтегралом 2-го рода по контуру AB. Обозначается

(2)

Теорема. Если функция z=f(x,y) непрерывна в области D и область D ограничена, то интеграл (2) существует. (Без доказательства).

Дата добавления: 2014-01-14