Несобственные интегралы. При определении интеграла предполагалось, что:

Лекция №22.

При определении интеграла предполагалось, что:

1. промежуток конечен.

2. функция f (x) определена и непрерывна в (интегрируемость в смысле Коши)

Рассмотрим теперь интегралы, для которых эти условия нарушаются.

1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы I рода).

Пусть функция f (x) непрерывна в промежутке .

На данном промежутке не существует определённый интеграл, поскольку нельзя разбить промежуток на n частей конечной длины.

х

Рис. 19.

Тем не менее интегралы с бесконечными пределами встречаются как в математике, так и в приложениях. Однако это уже иные интегралы.

Рассмотрим f (x) на (рис. 19). Она интегрируема на этом отрезке:

. (14)

Несобственным интегралом от функции f(x) по бесконечному промежутку называют предел интеграла (14) при :

.

Если предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Примеры.

1.

Интеграл сходится.

2.

Предел не существует – интеграл расходится.

Часто бывает достаточно знать, сходится или расходится рассматриваемый несобственный интеграл.

Пусть при . Очевидно, что в этом случае интеграл есть монотонно возрастающая функция от переменной N: большему значению N соответствует большее значение площади фигуры. Если при этом функция при , (ограничена), то она имеет предел (признак существования предела):

, т.е.

Интеграл сходится.

Если неограниченна при , то несобственный интеграл расходится к бесконечности: .

Теорема. Пусть для выполняется соотношение:

, (15)

тогда:

1. Если сходится, то сходится и .

2. Если расходится, то расходится и .

Следствие 1. Если f (x) непрерывна на, причём

, где p >1, то сходится.

Следствие 2. Если f (x) непрерывна на , и , где , то расходится.

Примеры.

1.Исследовать сходимость интеграла

Сравним данный интеграл с известным сходящимся интегралом.

Так как при , то .

Следовательно интеграл сходится.

Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода).

Непрерывная на отрезке функция интегрируема на нём.

1. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на конечном промежутке за исключением конечного числа точек. Если f (x) на отрезке имеет конечное число только разрывов I рода (конечные скачки), то в этом случае отрезок точками с и d можно разбить на три промежутка, в каждом из которых функция f (x) непрерывна. В этом случае интеграл в пределах от a до b на основании свойств аддитивности определяется как сумма

Рис.23 интегралов от непрерывных функций:

(собственные интегралы).

2. Пусть функция f (x) определена и непрерывна при , а в точке b терпит бесконечный разрыв (разрыв II рода). В этом смысле определённый интеграл на не может существовать, т.к. не существует предел интегральных сумм. Поступим следующим образом. Возьмём произвольное число и рассмотрим отрезок (рис. 24).

Рис. 24.

Функция f (x) непрерывна на этом отрезке, значит существует интеграл .

Если существует предел этого интеграла когда , то этот предел называется несобственным интегралом второго рода и обозначается:

.

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяется интеграл с особенностью на нижнем пределе.

Пусть f (x) непрерывна на , а при х=а имеет разрыв второго рода (рис. 25), тогда

y=f (x)

y

.

Рис. 25.

Пусть функция f (x) на отрезке имеет несколько точек разрыва второго рода (рис. 27). Тогда промежуток разбивают на частичные так, чтобы на каждом из них было по одной точке разрыва, расположенной на конце интервала:

Если все интегралы в правой части сходятся, то сходится и интеграл в левой части. Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то расходится и интеграл, стоящий справа.

Теорема: Пусть выполнено условие , причём f (x) и g (x) непрерывны при , а при x=b имеют бесконечные разрывы. Тогда:

1. Если сходится, то сходится и ;

2. Если расходится, то расходится и .

Рис. 28.

Следствие 1. Если и p <1, то сходится.

Следствие 2. Если , непрерывна при , а при x=b имеет разрыв первого рода и , где , то расходится.

Дата добавления: 2014-01-14