Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

Пусть функция f (x) непрерывна на или и имеет на этом промежутке произвольный знак.

Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл от функции . Сама функция f (x) называется при этом абсолютно интегрируемой на соответствующем промежутке.

-для интегралов первого рода; (16)

- для интегралов второго рода. (17)

Абсолютно сходящийся интеграл сходится, т.е. из сходимости интегралов (16) или (17) следует, соответственно, сходимость интегралов (3)

или (18)

, (19)

причём или

. (без доказательства).

Геометрически теорему можно пояснить так. Если интеграл сходится абсолютно, то площадь, ограниченная кривой при конечна. Значит, будет конечна и алгебраическая сумма площадей, ограниченных кривой y=f (x).

Может оказаться, что интеграл (16) или (17) расходятся, но интегралы (18) или (19) сходятся. Тогда интегралы (18) и (19) называются не абсолютно сходящимися (условно сходящимися).

Пример. Исследовать сходимость интеграла. Рассмотрим интеграл: . Сравним его и интегралом, который сходится, т.к. р= 2. Очевидно, что , следовательно сходится. Но

и заданный интеграл сходится абсолютно.

Дата добавления: 2014-01-14