Формула трапеций. Как и в предыдущем случае, делим отрезок на n равных частей:

Как и в предыдущем случае, делим отрезок на n равных частей: . Каждую элементарную дугу заменим соответствующей хордой, в результате чего криволинейная трапеция заменяется суммой площадей элементарных прямоугольных трапеций. Геометрически очевидно, что такие трапеции более точно выражает искомую площадь, чем прямоугольники. Площадь каждой элементарной трапеции равна:

Рис. 51.

_.

Складывая элементарные площади, получим:

, (4)

Полученная формула называется формулой трапеций.

Можно доказать, что если на существует ограниченная производная , то ошибка оценивается формулой:

, т.е. . Здесь М₂ – наибольшее значение на .

Формула парабол (формула Симпсона)

Ещё большая точность получается, если элементарные криволинейные трапеции заменить параболическими трапециями.

Разобьём отрезок [ a, b ]на чётное число равных частей. Шаг разбиения при этом и вычислим значения функции f (x) в точках деления: . Рассмотрим n троек точек деления на кривой y = f (x): . Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную параболу второй степени:

(5)

Через выделенные тройки точек проведём параболы с осями, параллельными оси Оу. Площадь элементарной криволинейной трапеции заменится площадью элементарной параболической трапеции. Вычислим площадь такой трапеции.

Лемма: Площадь параболической трапеции с основанием 2 h равна: , где и - ординаты кривой в крайних точках, а - ордината кривой в середине отрезка.

Приближённое значение интеграла:

Полученная формула носит название формулы Симпсона.

Если существует ограниченная на , то погрешность формулы Симпсона оценивается следующим образом: , т.е. . Здесь - наибольшее значение на отрезке .

Все рассмотренные формулы тем точнее, чем больше n: при . При одном и том же n формула Симпсона – наиболее точная из них.

Дата добавления: 2014-01-14