Пример. Пусть , где – символы десятичной записи числа x

Пусть , где – символы десятичной записи числа x. Предположим, что для некоторой последовательности символы фиксированы, а остальные символы x_n, которых тоже бесконечное множество, независимы и каждый из них принимает значения 0, 1,…,9 с вероятностью 1/10.

Докажем, что x обладает сингулярным распределением.

Обозначим r(n) – число фиксированных членов среди первых n символов записи числа x. Множество дробных чисел с фиксированными первыми n десятичными знаками заполняет отрезок длины 10^-n (например, все числа, начинающиеся с 0.33, расположены в отрезке [0.33, 0.34]).

Т.О. x может принадлежать одному из 10^n-r(n) интервалов длины 10^-n. Длина всех этих отрезков в сумме составляет 10^-r(n). Взяв такое n, что 10^-r(n)<e, найдем, что множество точек роста покрывается конечным числом отрезков с суммарной длиной, меньшей e, то есть выполняется второе условие сингулярности.

В тоже время, вероятность принадлежности x любому из 10^n-r(n) отрезков составляет

1/10^n-r(n).

Предположим, что имеет хотя бы один скачок величины e>0. Тогда, для любого n точка скачка должна принадлежать отрезку длины 10^-n, на котором приращение функции составляет 1/10^n-r(n). Т.О. для любого n должно выполняться условие 1/10^n-r(n)> e. Поскольку при , то это условие противоречиво, ибо число нефиксированных десятичных символов бесконечно. Т.О., первое условие сингулярности также выполнено.

Дата добавления: 2014-01-14