Понятие определенного интеграла

Пусть - функция, непрерывная на интервале и - ее первообразная, то есть: для .

Определение 1. Определенным интегралом от функции на интервале называется приращение ее первообразной: , где а – нижний предел интегрирования; b – верхний предел интегрирования; - интервал интегрирования; - подынтегральная функция; х – переменная интегрирования.

Таким образом, определенный интеграл равен разности значений первообразной подынтегральной функции для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Обозначим , тогда .

Это формула Ньютона-Лейбница.

Пример: Найти интеграл от х² в пределах от 2 до 4.

Решение. Так как - первообразная для , то

Замечание: Мы получим тот же результат, если используем другую первообразную для , например, или и т.д.

Теорема: определенный интеграл от непрерывной функции не зависит от выбора первообразной для подынтегральной функции.

Доказательство: Пусть и - две различные первообразные для функции , тогда по основному свойству первообразной имеем: =+С, где С = const, отсюда

Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-01-14