Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на интервале задана непрерывная функция

Определение 2. Геометрическая фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу осью ОХ, слева и справа и , называется криволинейной трапецией

Докажем, что площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле ,

где - первообразная для функции на .

Рассмотрим часть криволинейной трапеции , которая находится левее точки . Площадь такой фигуры – это функция от х, обозначим ее , тогда ;

.

Приращение функции в точке х равно площади криволинейной трапеции : .

Для площади выполняется двойное неравенство: .

Площади прямоугольников определяются формулами:

; , поэтому ;

или при .

По условию - непрерывная функция ,

то есть ; .

Переходим к пределу в последнем двойном неравенстве и получаем:

.

Следовательно, функция - первообразная для функции : =.

Так как , =, то и =.

Отсюда .

Дата добавления: 2014-01-14