Основные свойства определенного интеграла

Определенный интеграл от непрерывной неотрицательной функции равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Действительно, .

Замечание: Интеграл называется интегралом с переменным верхним пределом.

Приложение определенного интеграла

Определенный интеграл применяется для вычисления площадей плоских фигур.

1) Пусть функция непрерывна и положительна на , тогда площадь соответствующей криволинейной трапеции .

2) Пусть функция непрерывна и отрицательна на , тогда площадь соответствующей криволинейной трапеции .

3) Пусть функция непрерывна на и принимает на этом интервале как положительные, так и отрицательные значения: .

4) Пусть площадь фигуры ограничена двумя прямыми и и двумя непрерывными функциями и на . Тогда .

Определенный интеграл применяется для вычисления объемов тел.

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой и прямыми вращается вокруг оси ОХ, то объем тела вращения вычисляется по формуле .

Задачи и упражнения

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

С помощью определенного интеграла

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: (рис.а).

а) б)

Решение:

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (рис.б).

Решение:

.

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (рис.в).

Построим графики функций и найдем абсциссы точек пересечения на системы:

Решение:

в) г)

5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной и прямыми (рис.г).

Решение:

Упражнения:

1. Вычислите интегралы:

1. 2. 3. 4.

5. , подстановка

6. , подстановка

2. Вычислите площади, ограниченные линиями:

а).

б).

в).

г).

3. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:

а).

б).

Дата добавления: 2014-01-14