Лекція № розрахунок стиснутих стержнів на стійкість. 3 страница

З першого В = 0, а з другого W = Asinkl =0.

Якщо прийняти А = 0, то W(x) = 0, що не задовольняє умові задачі, таким чином sinkl =0, де kl=pn, тобто pn =1, 2, 3,……., або k²l²=p²n²

Прирівняємо значення k²:

, звідки

Нас цікавить найменше значення сили Р, тобто Р_кр, при n = 1:

Рівняння зігнутої осі стержня:

Визначимо сталу А: , при w=w_max=f. Тоді , де n – число півхвиль синусоїди за довжиною зігнутого стержня (рис. 10.5). У випадку, що розглядається, тобто при шарнірному закріпленні кінців стержня, на його довжині укладається тільки одна півхвиля синусоїди (n =1 ).

Розглянемо інші випадки закріплення:

а) Стержень, закріплений з однієї сторони. Тут n =1/2, і , або , (рис. 10.6)

б) Стержень, жорстко закріплений з обох боків. У цьому випадку n = 2 і , або ,

(рис. 10.7)

в) Стержень, жорстко закріплений з одного боку і шарнірно з іншого. Для нього:

n = 3/2 і , або , (рис. 10.8).

Очевидно, різні випадки закріплення стержня можна звести до основного, якщо ввести коефіцієнт приведеної довжини n=1/n, і усі формули зведуться до однієї: ,

Ця формула носить назву, формули Ейлера. Значення n для різних випадків закріплення стержнів. (рис. 10.9).

3. Межі застосування формули Ейлера.

Виведення формули Ейлера, засновано на застосуванні диференціального рівняння пружної лінії, яке справедливе у межах застосування закону Гука. Як наслідок, визначення Р_кр за формулою Ейлера можливе, якщо s_кр £s_пц, тобто критичне напруження не перевищує границю пропорційності матеріалу. Визначимо s_кр: ,

Введемо поняття - гнучкість стержня. Вона залежить від його розмірів і способу закріплення. Одержимо ,

звідки слідує що s_кр залежить від матеріалу стержня і його гнучкості.

Покажемо цю залежність графічно для сталі 3 (рис. 10.10).

З графіка можна побачити що із збільшенням гнучкості s_кр прямує до нуля. Очевидно існує якесь граничне значення гнучкості для стержня з певного матеріалу, для якого справедлива формула Ейлера. Тобто , звідки , і формула Ейлера може бути застосована, якщо l≥l_гр. При цьому, для значень l<l_гр, тобто при s_кр>s_пц, формула Ейлера дає завищені значення, тобто користуватись формулою небезпечно. Інженер – дослідник Ясинський одержав емпіричну формулу для визначення, s_кр за границею пропорційності на основі дослідних даних:

s_кр= a - bl, - для пластичних матеріалів,

s_кр= a - bl + сl² - для крихких матеріалів де a, b,с – емпіричні коефіцієнти.

4. Практичні розрахунки стиснених стержнів на стійкість.

При практичному розв’язку питання про підбір перерізу стиснутого стержня не можливо допустити виникнення у стержні критичного напруження – потрібно ввести деякі коефіцієнти запасу стійкості – n_ст, причому при поздовжньому згинанні коефіцієнт запасу для більшості матеріалів приймається більш високий, ніж при розрахунку на міцність, тому що стиснені стержні втрачають свою несучу здатність від втрати стійкості раніше, ніж від втрати міцності, тому що критичні напруження, завжди менші границі текучості, або границі міцності, тобто

s_кр<s_н, де

s_н = s _т– для пластичних матеріалів;

s_н = s _в – для крихких.

Таким чином, допустиме напруження при поздовжньому згинанні:

[s]_ст= , де s_кр визначається, якщо воно в межах пропорційності, за формулою Ейлера, якщо воно вище s_пц – наприклад, за формулою Ясинського.

Приблизно можна приймати наступні значення n_ст:

Сталь: 1,8÷3,0;

Чавун: 5,0÷5,5;

Дерево: 2,8÷3,2.

Але допустиме напруження на стійкість та допустиме напруження на міцність , взаємно пов’язані. Виразимо [s]_стчерез [s]:

, звідки

.

Позначимо: , тоді [ s ]_ст = [ s ] ^.j.

Назвемо j - коефіцієнтом зниження основного допустимого напруження. Цей коефіцієнт підраховано для значень гнучкості, від 0 до 200 для основних конструкційних матеріалів, його значення в залежності від матеріалу і гнучкості l приводяться у довідникових таблицях.

Тепер можна записати умову стійкості:

s =Р/F £ [ s ]_ст, або

s =P/F £ [ s ] ^.j., де

дійсне напруження s визначається як при простому стискуванні, але допустиме напруження знижується з врахуванням гнучкості стержня:

[s]_ст =[s] ^.j.

Як формула Ейлера, так і метод розрахунків за коефіцієнтом j дозволяють виконувати три види розрахунків – перевірочний, проектувальний та визначення вантажопідйомності.

Відмітимо, що проектувальний розрахунок за коефіцієнтом j можна виконати тільки методом послідовного наближення, задаючись значеннями j та наближаючи їх один до одного, тобто в умові стійкості дві невідомі величини – площа F та коефіцієнт j. Нижче представлені приклади різних видів розрахунків за обома методами.

5. Раціональна форма та раціональне розташування переріза.

При розрахунку стержня на стійкість потрібно намагатися, щоб стержень був рівно-стійкий в усіх напрямках. Якщо в обох головних площинах приведена довжина однакова, то раціональний переріз-коло, кільце або квадрат, тобто переріз, у якого i_z=i_y або I_z=I_y (рис. 10.11)

Якщо приведена довжина (n) у різних площинах не однакова, то переріз не повинен мати однакові i_z і i_y, а розташовувати його потрібно так, щоб l_max при цьому знизилась, тобто була спрямована до однакових значень l, аби стержень став рівно-стійким. Так для стержня представленого на рис. 10.12 гнучкість в головних площинах:

l_xoz=l_y=2 ^. l/i_y; l_xoy=l_z=1 ^. l/i_z.

Переріз повинен мати таку форму і так бути розташований, щоб

i_y <i_z k, тобто необхідно знизити максимальну гнучкість.

Ряд таких перерізів показано на рис. 10.13. Це перш за все перерізи, які набрані з прокатних профілів.

Приклади розрахунків на стійкість.

В залежності від постановки задачі є три види розрахунків на стійкість: перевірочний, визначення допустимих навантажень та проектувальний - визначення розмірів поперечного перерізу стержня. Всі ці розрахунки можна проводити одним з методів – за формулою Ейлера (обов’язково виконуючи умови її застосування, тобто l ≥ l_пр) або за коефіцієнтом зниження допустимого напруження j.

1. Перевірити на стійкість стиснуту сталеву стійку трубчатого перерізу з s_пц= 540 МПа, Е = 2,15 10⁵МПа, потрібний коефіцієнт запасу стійкості n_у = 3,5 (рис. 10.14).

Розв’язок.

Для використання формули Ейлера визначимо граничну гнучкість і гнучкість стояка. Гранична гнучкість матеріалу стояка:

. Для визначення гнучкості стояка знайдемо його момент інерції та радіус інерції.

Моменти інерції стояка всі однакові:

Площа перерізу

.

Радіус інерції

Гнучкість стояка при n= 0,7:

Тому що l≥l_гр, за формулою Ейлера визначимо критичну силу: . Дійсний коефіцієнт запасу стійкості: що, трошки більше потрібного, тобто стійкість конструкції забезпечена.

Лекція №

Тема: «Розрахунки при ударних навантаженнях»

Явище удару має місце тоді, коли швидкість розглядуваного елемента конструкції або стичних з ним частин протягом дуже малого проміжку часу змінюється на скінченну величину.

Розглянемо 2 випадки:

1. Вантаж прикладається до стрижня статично, тобто навантаження наростає від нуля до максимального значення і стискає стрижень на величину .

2. Вантаж падає з висоти Н і ударяючи по стрижню спричинює у ньому стиск .

Зміна деформацій та переміщень при ударній дії навантаження Q порівняно з переміщеннями (деформаціями) при статичній дії того самого навантаження характеризується коефіцієнтом динамічності:

Звідки, .

Враховуючи лінійний зв'язок між напруженнями та деформаціями, а також припускаючи, що модулі пружності при статичній і ударній дії навантаження однакові, можна записати:

, де

Переміщення будуть дорівнювати:

, де - жорсткість;

; - статичне навантаження, що дорівнює вазі падаючого вантажу ()

- динамічне навантаження, що являє собою силу інерції тіла, яке ударяє, в перший момент його зіткнення зі стержнем.

Зміна кінетичної енергії падаючого вантажу чисельно дорівнює роботі вантажу при його падінні та деформуванні стержня:

Потенціальна енергія деформації тіла при ударі дорівнює:

Користуючись законом збереження енергії:

Тоді

і враховуючи, що , можна записати:

Знак «-» треба відкинути, так як знак динамічної деформації не може бути протилежним знаку статичної:

Враховуючи , отримаємо:

Враховуючи, що , де V – швидкість падаючого вантажу в момент початку удару, тоді коефіцієнт динамічності можна записати:

Ураховуючи, що ,

, де - кінетична енергія падаючого вантажу в момент початку удару;

- потенціальна енергія деформації стержня, при статичній дії сили, яка дорівнює вазі ударного вантажу , тобто:

; ; , де “ ” – жорсткість.

Оскільки висота падіння вантажу , то під коренем при визначенні одиницею нехтують, тобто:

, але це наближена формула.

Напруження при ударі визначається, як:

, - статичне напруження.

Зусилля при ударі:

, - статичне зусилля.

Умова міцності при ударі має вигляд:

Коефіцієнт запасу міцності можна вибрати таким, як і при статичному навантаженні (1,4 1,6), оскільки динамічність вже відображена у розрахункових формулах коефіцієнтом . Однак, враховуючи наближеність розглянутого методу розрахунку, цей коефіцієнт беруть більшим ().

Розрахунок на удар при згині

Напруження і деформації при згинальному ударі:

; ;

- статичний прогин у місті удару, який залежить від схеми навантаження та умов закріплення балки. Якщо балка шарнірно оперта і удар по центру прольоту, тоді:

;

;

;

.

Приклад №1.

Визначити з умови міцності для сталевої двотаврової балки найбільшу допустиму висоту падіння вантажу масою m, якщо вантаж падає посередині прольоту.

Дано l; m.

;

;

;

Звідси знаходимо H.

Приклад №2 (на розтяг).

Вантаж масою m падає на диск, що закріплений на кінці стержня. Вичислити найбільшу допустиму висоту H падіння вантажу при умові, що напруження, що виникають у поперечних перерізах стержня не перевищують границю пропорційності .

;

;

; ;

, звідси можна знайти H.

Напруження при скручуваному ударі

При ударному крученні можна, виходячи з енергетичного балансу (U=T),

дістати формулу для визначення максимальних напружень, аналогічну тій, що була здобута при поздовжньому ударі.

;

- переміщення точки співудару в напрямі удару під дією статично прикладеної сили Q.

В енергетичному машинобудуванні ударне кручення найчастіше спричинюється силами інерції мас, що обертаються з великими прискореннями. Це має місце, в основному, при гальмуванні швидкообертових валів,що несуть маховики.

.

Дата добавления: 2014-11-06