КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Дифференциальные уравнения второго порядка
Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общий вид такого уравнения: где p и q -действительные числа. Корни его характеристического уравнения могут быть: 1) действительными и различными: 2) действительными и равными: 3) комплексными: Им соответствуют следующие общие решения уравнения: 1) ; 2) ; 3) . Пример 3. Найти частное решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее начальным условиям:
Решение: а) Характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня , поэтому общее решение этого дифференциального уравнения записывается в виде , где произвольные постоянные. Отсюда Основываясь на начальных условиях, получаем Решая систему уравнений получаем =1; =0 Частное решение данного уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, приобретает вид б) Характеристическое уравнение имеет два равных корня поэтому общее решение соответствующего дифференциального уравнения будет иметь вид Дифференцируя, получим . Учитывая начальные условия, получаем систему для определения Откуда , поэтому частное решение имеет вид: в) Характеристическое уравнение не имеет действительных корней. Его корни: Поэтому общее решение данного уравнения имеет вид: Дифференцируя, получим: Подставляя в выражения для начальные условия, получим систему уравнений: решая которую, найдем . Тогда частное решение данного уравнения будет иметь вид:
Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общий вид такого уравнения: (*) В правой части: многочлен степени .
Общее решение уравнения (*)может быть представлено в виде где - общее решение соответствующего линейного однородного уравнения, - какое- либо частное решение неоднородного уравнения (*). Для отыскания пользуются следующим правилом: 1) если число не является корнем характеристического уравнения, то где - многочлен степени с неопределенными коэффициентами; 2) если совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то ; 3) если совпадает с обоими корнями характеристического уравнения, то . Пример 4 Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: Решение: Будем искать общее решение в виде Y – общее решение уравнения характеристическое уравнение которого а его корни и решение Y имеет вид: Частное решение будем искать в виде или Подставим и в исходное уравнение, получим: или Составим систему для нахождения А и В. Тогда частное решение имеет вид: . Общее решение данного уравнения будет:
.
Дата добавления: 2014-11-06; Просмотров: 305; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |