Краткие теоретические сведения. Длина дуги меридиана и параллели

Длина дуги меридиана и параллели. Размеры рамок трапеций топографических карт

Херсон-2005

Длина дуги меридиана S_M между точками с широтами B₁ и B₂ определяется из решения эллиптического интеграла вида:

(1.1)

который, как известно, не берется в элементарных функциях. Для решения этого интеграла применяют численное интегрирование. По формуле Симпсона имеем:

(1.2)

где

(1.3)

где B₁ и B₂ – широты концов дуги меридиана; М₁, М₂, Мср – значения радиусов кривизны меридиана в точках с широтами B₁ и B₂ и Bcp=(B₁+B₂)/2; a – большая полуось эллипсоида, e² – первый эксцентриситет.

Длина дуги параллели S_П есть длина части окружности, поэтому она получается непосредственно как произведение радиуса данной параллели r=NcosB на разность долгот l крайних точек искомой дуги, т.е.

(1.4)

где l=L₂–L₁

Значение радиуса кривизны первого вертикала N вычисляется по формуле

(1.5)

Съемочная трапеция представляет собой часть поверхности эллипсоида, ограниченная меридианами и параллелями. Поэтому стороны трапеции равны длинам дуг меридианов и параллелей. Причем северная и южная рамки являются дугами параллелей a₁ и а₂, а восточная и западная – дугами меридианов с, равными между собой. Диагональ трапеции d. Для получения конкретных размеров трапеции, необходимо упомянутые дуги разделить на знаменатель масштаба m и, для получения размеров в сантиметрах, умножить на 100. Таким образом, рабочие формулы имеют вид:

(1.6)

где m – знаменатель масштаба съемки; N₁, N₂, – радиусы кривизны первого вертикала в точках с широтами B₁ и B₂; M_m – радиус кривизны меридиана в точке с широтой B_m = (B₁+B₂)/2; ΔB=(B₂–B₁).

Задание и исходные данные

1) Вычислить длину дуги меридиана между двумя точками с широтами B₁=30°00'00.000'' и B₂ = 35°00'12.345''+1'№, где № – номер варианта.

2) Вычислить длину дуги параллели между точками, лежащими на этой параллели, с долготами L₁ = 0°00'00.000'' и L₂ = 0°45'00.123'' + 1''№, где № – номер варианта. Широта параллели B=52°00'00.000''

3) Вычислить размеры рамок трапеции масштаба 1:100 000 для листа карты N-35-№, где № - номер трапеции, выдаваемый преподавателем.

Схема решения

Длина дуги меридиана		Длина дуги параллели
Формулы	Результаты		Формулы	Результаты
a	6 378 245,0		a	6 378 245,0
e^2	0,0066934216		e^2	0,0066934216
a(1-e^2)	6335552,717		L1	0°00'00.000''
B1	30°00'00.000''		L2	0°45'00.123''
В2	35°00'12.345''		l = L2-L1	0°45'00.123''
Bcp	32°30'06.173''		l(рад)	0,013090566
sinB1	0,500000000		В	52°00'00.000''
sinB2	0,573625462		sinB	0,788010754
sinBcp	0,537324847		cosB	0,615661475
1+0.25e^2sin^2B1	1,000418339		1-0.25e^2sin^2B	0,998960912
1+0.25e^2sin^2B2	1,000550611		1-0.75e^2sin^2B	0,996882735
1+0.25e^2sin^2Bcp	1,000483128		N	6 391 541,569
1-1.25e^2sin^2B1	0,997908306		NcosB	3 935 025,912
1-1.25e^2sin^2B2	0,997246944		SП	51 511,715
1-1.25e^2sin^2Bcp	0,997584361
M1	6 351 488,497
M2	6 356 541,056
Mcp	6 353 962,479
M1+4Mcp+M2	38 123 879,468
(M1+4Mcp+M2)/6	6 353 979,911
B2-B1	5°00'12.345''
(B2-B1)рад	0,087326313
SМ	554 869,638

Размеры рамок трапеции
Формулы	Результаты		Формулы	Результаты
a	6 378 245,0		1-0.25e^2sin^2B1	0,998960912
e^2	0,0066934216		1-0.75e^2sin^2B1	0,996882735
a(1-e^2)	6 335 552,717		1-0.25e^2sin^2B2	0,998951480
0.25e^2	0,001673355		1-0.75e^2sin^2B2	0,996854439
0.75e^2	0,005020066		1+0.25e^2sin^2Bm	1,001043808
1.25e^2	0,008366777		1-1.25e^2sin^2Bm	0,994780960
B1	52°00'00''		N1	6 391 541,569
В2	52°20'00''		N2	6 391 662,647
Bm	52°10'00''		Mm	6 375 439,488
sinB1	0,788010754		l	0°30'00''
sinB2	0,791579171		l(рад)	0,008726646
sinBm	0,789798304		∆B	0°20'00''
cosB1	0,615661475		∆B(рад)	0,005817764
cosB2	0,611066622		a1	34,340
m	100 000		a2	34,084
100/m	0,001		c	37,091
			d	50,459

Дата добавления: 2014-11-06