Правила нахождения производных (дифференциальное исчисление)

Односторонние производные.

Определение 1. Пусть . Если существует конечный предел

,

то этот предел называется производной слева функции f в точке х ₀ и обозначается символом .

Определение 2. Пусть . Если существует конечный предел

,

то этот предел называется производной справа функции f в точке х ₀ и обозначается символом .

Существуют функции, имеющие в данной точке и левую, и правую производные, но не имеющие производной в этой точке. Примером такой функции может служить функция Эта функция имеет в точке 0 правую производную, равную 1, левую производную, равную -1, и не имеет производной.

Теорема 1. Для того чтобы функция имела в точке производную, необходимо и достаточно, чтобы:

1)

2)

Теорема 1. Пусть функции имеют в точке производные и . Тогда:

1) функция имеет в точке производную, причем ;

2) функция имеет в точке производную, причем ;

3) функция имеет в точке производную, причем ;

4) если , то существует, и при этом

.

Теорема 2(Дифференцирование сложной функции). Пусть дифференцируема в точке , дифференцируема в точке . Тогда дифференцируема в точке и

.

Теорема 3 (Дифференцирование обратной функции). Пусть функция непрерывна и возрастает (убывает) на . Если f дифференцируема в точке и , то обратная функция будет дифференцируема в точке . При этом

.

Дата добавления: 2014-11-06