Производные старших порядков

Использование дифференциала для приближенных вычислений.

Так как при малых т.е. то

. (1)

Эта формула позволяет находить приближенные значения при малых если известны и При этом погрешность при замене правой частью формулы (1) тем меньше, чем меньше и, более того, эта погрешность при является бесконечно малой более высокого порядка, чем

Пример 1. Вычислить приближенное значение

Решение. Будем рассматривать как частное значение функции при Пусть Тогда Подставляя в формулу (1), получим

Предположим, что функция дифференцируема на интервале , т.е. " x Î(a, b) .Определим на интервале функцию g равенством: g (x)= .

Определение 1. Если в точке существует производная функции g, то эта производная называется производной второго порядка функции в точке и обозначается одним из символов:

Если производная порядка n определена (ее обозначение или ), и для любого существует , то производная в точке порядка (n +1) определяется как если последняя существует.

Пример 1. Пусть . Тогда для и

В частности,

Пример 2. Для и

Пример 3. Пусть aÎ . Для и

В частности, для и ,  

" x Î .

Пример 4. Для и 

Пример 5. Для и 

Далее полагаем

Теорема 1. Предположим, что функции f и g имеют на (a, b) производные порядка n. Тогда:

1)

2) ;

3)

4) (Формула Лейбница).

Дата добавления: 2014-11-06