Правило Лопиталя

Правила вычисления пределов функций в точке применимы при определенных ограничениях. В ряде важных случаев представляет интерес вычисление пределов при условиях, в которых упомянутые ограничения не выполняются. Типичным является вопрос о пределе при в одной из следующих ситуаций:

, когда

, когда

, когда

, когда

, когда

Эффективным средством вычисления подобных пределов является использование понятия производной. Правила вычисления таких пределов были впервые предложены Гийомом Франсуа де Лопиталем (1661-1704) –французским математиком, автором первого учебника по дифференциальному исчислению (1696).

Теорема 1. Предположим, что функции и удовлетворяют условиям:

1)

2) существуют ;

3)

4) существует

Тогда существует

Аналогичная теорема имеет место для предела справа.

Пример 1. Покажем, что Положим Тогда Для этих функций и условия Теоремы 1 выполнены, поэтому

Пример 2. Покажем, что

Положим Для функций и условия 1)-3) Теоремы 1 выполнены. Чтобы выяснить, будет ли выполнено условия 4) надо Теорему 1 применить к функциям и . Так как для них условия 1)-4) Теоремы 1 выполнены, то

Теорема 2. Предположим, что функции и удовлетворяют условиям:

1)

2) существуют и

3)

4) существует

Тогда существует

Пример 3. Пусть . Докажем, что

Положим

и применим Теорему 2. Условия 1) -3) Теоремы 2 выполнены и, кроме того,

Пример 4. Доказать, что

Решение. Согласно определению степенно-показательной функции

По Теореме 2

Поэтому

12) Исследование выпуклости.

Пусть .

Определение 1. Функция называется выпуклой вниз на , если и выполняется неравенство

Функция называется выпуклой вверх на , если функция - выпукла вниз на .

Определение 2. Функция называется строго выпуклой вниз на , если

, и выполняется неравенство

Функция называется строго выпуклой вверх на , если функция - строго выпукла вниз на .

Функция, удовлетворяющая одному из приведенных определений, называется выпуклой.

Пример 1. Функция выпукла вниз и выпукла вверх (но не строго) на всей числовой оси.

Пример 2 Функция строго выпукла вниз на всей числовой оси. Действительно, пусть Тогда

Теорема 1. Пусть и существует .

1) Для того чтобы функция была выпуклой вниз на , необходимо и достаточно, чтобы .

2) Для того, чтобы функция была строго выпуклой вниз на , необходимо и достаточно, чтобы:

a) ;

b) не существовало интервала такого, что .

13) Условия локального экстремума.

Определение 1. Пусть . Точка называется точкой локального максимума функции , если

и

При этом точка называется точкой строгого локального максимума, если

Аналогично определяются точки локального минимума и строгого локального минимума. Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.

Теорема 1. Пусть есть точка локального экстремума функции . Если то

Определение 2. Точки, в которых производная функции обращается в нуль, называются критическими (стационарными) точками функции .

Говорят, что функция сохраняет знак левее точки , если

либо

Аналогично определяется понятие “функция сохраняет знак правее точки ”.

Теорема 2. Пусть удовлетворяет одному из следующих двух условий:

1) причем точка критическая и производная сохраняет знак правее и левее точки ;

2) непрерывна на , дифференцируема в каждой точке и производная сохраняет знак правее и левее точки .

Если при переходе через точку производная меняет знак, то есть точка локального экстремума. Если при переходе через точку производная знака не меняет, то не является точкой локального экстремума.

Теорема 3. Пусть . Предположим, что выполнены условия:

1) и

2)

3)

Тогда для точка есть точка локального экстремума. Именно, точка локального максимума при и точка локального минимума при . Для значений точка не является точкой локального экстремума.

Дата добавления: 2014-11-06