Прямой ход метода Гаусса

Составим расширенную матрицу системы:

.

Используя элементарные преобразования строк, приведем ее к ступенчатому виду:

4.1. Получим нули в первом столбце матрицы.

а) Элементы второй строки умножим на и прибавим к ним, умноженные на ,элементы первой строки:

.

б) Элементы третьей строки умножим на и прибавим к ним, умноженные на , элементы первой строки:

.

в) Элементы четвертой строки умножим на и прибавим к ним, умноженные на , элементы первой строки:

.

4.2. Получим нули во втором столбце матрицы.

а) Элементы третьей строки умножим на и прибавим к ним, умноженные на , элементы второй строки:

.

б) К элементам четвертой строки прибавим элементы второй строки:

.

Матрица приведена к ступенчатому виду. На этом закончен прямой ход метода Гаусса.

Исследуем систему, используя теорему Кронекера – Капелли.

Теорема Кронекера – Капелли: система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Ранг матрицы ступенчатого вида равен количеству ненулевых строк. Значит в нашем случае ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы , а именно: . Следовательно система имеет решение.

Т.к. число неизвестных меньше числа линейно независимых уравнений (числа ненулевых строк), система будет иметь бесконечное множество решений. Найдем общее решение данной системы уравнений.

Обратный ход метода Гаусса:

Разобьем неизвестные на две группы: базисные (или основные) и свободные (или неосновные). Количество базисных неизвестных равно рангу матрицы. Базисные неизвестные находятся в строках и столбцах базисного минора.

Базисный минор должен быть отличен от нуля и иметь порядок равный рангу матрицы системы. В качестве базисного минора выберем минор , т.е. определитель, состоящий из элементов находящихся на пересечении 1-ой, 2-ой, 3-ей строк и 1-го, 2-го, 3-го столбцов. Т.о. базисными неизвестными будем считать ; свободными . Пусть , где - произвольная постоянная.

Выразим базисные переменные через .

Отбросим нулевые строки и снова перейдем к системе уравнений:

.

4.3. Из третьего уравнения выразим :

4.4. Подставим полученное во второе уравнение и выразим :

4.5. Подставим полученное в первое уравнение и выразим :

Закончен обратный ход метода Гаусса.

Запишем ответ: 1 способ. 2 способ.

. .

1. Задачи для самостоятельного решения.

Дата добавления: 2014-11-06