Методические указания для выполнения заданий 1 страница

Задание 11 – 20

Для решения задач 11 – 20 рекомендуется учебное пособие

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.

Ч.1. М.: Оникс 21 век. 2005. Гл. I –IV, стр.39 – 91.

Рассмотрим решение аналогичной задачи, взяв координаты вершины пирамиды SABC: А(-3;0;0); В(0;2;0); С(0;0;6); S(-3;4;5).

1) Длину ребра АВ находим по формуле:

2) Угол между рёбрами найдём по формуле косинуса угла между векторами , координаты которых определяются так:

α

φ

Для решения задания 3) целесообразно решить задачу 7). Уравнение плоскости составим по уравнению

Нормальный вектор этой плоскости

4) Площадь определяем с помощью векторного произведения:

5) Объём пирамиды находится через вычисление смешанного произведения векторов Изучите понятие смешанного произведения, формулу объёма пирамиды и формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов. Решите самостоятельно.

6) Уравнение прямой

Канонические уравнения прямой, вектор направляющий вектор прямой

8) Для определения проекции вершины на плоскость выполняются следующие действия:

а) составляется уравнение высоты пирамиды .

б) находится точка пересечения высоты и основания решением системы, содержащей уравнение высоты и уравнение плоскости.

Решение: вектор удобнее взять

Он будет направляющим для По уравнению

вершина , т.е.

.

Система решается подстановкой

Подставив во второе уравнение, найдём значение , а следовательно значения

Точка - проекция точки на плоскость

9) Длину высоты пирамиды можно найти по формуле или по формуле расстояния от точки до плоскости – наиболее удобно.

Изучите формулы самостоятельно, решив задание 9).

Задание 51 – 60

Дана система линейных уравнений

Решить систему а) матричным методом, б) методом Крамера, в) методом Гаусса.

а) данной системе соответствует матричное уравнение , которое решается по формуле: . Матрицы имеют вид:

Находим обратную матрицу

Находим матрицу

б) - формулы Крамера. Вычислим все определители

в) Метод Гаусса.

Составим расширенную матрицу и преобразуем её с помощью элементарных преобразований.

Из полученной матрицы, выделяя последнюю строку, видим, что исключены неизвестные и . Найдём . .

Вторая строка соответствует уравнению:

или

Аналогично из первой строки напишем уравнение:

Итак:

Задание 91 – 100.

Дано комплексное число

Записать число в геометрической и тригонометрической формах и найти все корни уравнения

Рекомендуемая литература: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. II, гл.III, §7, стр.97 – 101.

Найдём алгебраическую форму комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа определится по формуле .

Изобразив число на плоскости, найдём и .

-1

Итак, число

Найдём корни уравнения

вычислим по формуле Муавра

Задание 111 – 120

Вычислить пределы:

а)

За скобку выносили наивысшую степень для числителя и знаменателя.

б)

Для исключения неопределённости требуется числитель и знаменатель разложить на множители.

в)

В данном случае для исключения неопределённости использованы эквивалентные бесконечно малые, например

г) Числитель и знаменатель умножаем на выражение, сопряжённое числителю

Задание 141– 150

Найти производные следующих функций:

а) б) ;

в) г) ;

д) .

б)

в)

г)

Прологарифмируем обе части равенства

Продифференцируем обе части равенства

д)

Функция задана неявно. Учитываем, что аргумент, функция.

Задание 151 – 160

Найти функций:

Решение:

а)

б)

Задание 191 – 200

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить её график.

Рассмотрим свойства функции:

1. Область определения:

2. Чётностьь, нечётность функции:

Функция общего вида.

3. Асимптоты.

а) Так как , то прямая является вертикальной асимптотой:

б) – наклонная асимптота.

Найдём

Найдём

– уравнение наклонной асимптоты.

4. Найдём точки экстремума и интервалы монотонности функции:

Так как то действительных корней нет, значит, нет точек экстремума.

Производная на всей области определения, значит функция

убывает.

5. Точки пересечения с координатными осями

а) с осью при ,

б) с осью при .

Используя исследование функции, строим график (схематично).

Задания 141-150, 151-160, 191-200 легко выполнить, используя учебное пособие П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах ч.I гл. VII §§ 1-2 стр. 151-183.

Задание 231-240

Показать, что функция удовлетворяет равенству:

Находим частные производные по и по :

Подставим в равенство частные производные.

;

Равенство верно.

Задание 251-260

Найти наименьшее и наибольшее значения функции

в области

y

В С

D

А D

0 1 2 x

а) Найдём стационарные точки

Точка - стационарная, но не принадлежит области D.

б) Исследуем данную функцию на границах квадрата АВСD

АВ:

Функция возрастает на границе АВ

ВС:

На границе ВС функция возрастает

Значит на границе фнкция возрастает

Значит на границе фнкция возрастает

Найденные значения z сравним и выделяем

Задание 261 – 270

Дана функция точка и вектор

Найти в точке и производную в точке по направлению вектора .

Найдём частные производные и вычислим их значение в точке .

– направляющие косинусы вектора

Литература к заданиям 231 – 240, 251 – 260, 261 – 270 – П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах

гл. VIII §§1-2, §4.

Задание 281 – 290

Найти неопределённые интегралы, выполнив проверку дифференцированием в первых двух примерах.

Решение:

Проверка:

Метод интегрирования по частям для функции

Формула:

Проверка:

Найдём коэффициенты

Задания 301– 310

Вычислить несобственный интеграл

Несобственный интеграл расходится.

Методы интегрирования рассматриваются в учебном пособии П.Е. Данко,

А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах ч. I, гл. IХ. §§1-4.

Задание 321 – 330

В данном задании предлагается решить дифференциальное уравнение одного из трёх типов – однородное, линейное или с разделяющимися переменными. Предлагается решение однородного уравнения

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

.

Уравнение является однородным.

Функции однородные второго порядка.

Уравнение можно привести к виду

разделить обе части на а затем на .

Введём подстановку

Разделяем переменные:

Интегрируем обе части, получаем

Общее решение примет вид

Задание 341-350

Найти общее и частное решения дифференциального уравнения

при начальных условиях .

Однородное уравнение

имеет характеристическое уравнение

корни которого .

Тогда общее решение

- для однородного уравнения

Согласно теории общее решение данного неоднородного уравнения имеет вид частное решение данного уравнения, правя часть которого

Учитывая стандартную формулу правой части, находим

Число не совпадает с

подбираем с учётом этого

Найдём

Дата добавления: 2014-11-07