Основи електромагнетизму

У 1820 році датський фізик Ханс Ерстед знайшов, що розташована паралельно провіднику магнітна стрілка (компас) при пропусканні по ньому сталого електричного струму прагне повернутись перпендикулярно йому. При зміні напрямку струму у провіднику, перпендикулярно до нього повернеться протилежний кінець магнітної стрілки. У цьому ж році французький фізик Андре Ампер установив, що два паралельних провідники довжиною l зі струмами I ₁ та I ₂, які знаходяться на відстані R один від одного, взаємодіють між собою із силою:

(9.1)

де m ₀ = 4p×10^-7 Гн/м – магнітна стала, m - магнітна проникність середовища. Якщо струми течуть у одному напрямку, то провідники притягуються, якщо у протилежних – відштовхуються. На підставі результатів своїх висновків Ампер прийшов до висновку, що взаємодії провідників зі струмами між собою, провідника зі струмом і магніту, а також магнітів між собою мають однакову природу та здійснюються через силове поле у просторі, яке оточує як магніти, так і провідники зі струмами. Цей особливий вид матерії, через яку передається силовий вплив між рухомими електричними зарядами (струмами) або магнітами, назвали магнітним полем. Наявність магнітного поля виявляється по силовій дії на внесені в нього провідники зі струмами або постійні магніти.

Для пояснення магнітних полів магнітів Ампер висловив гіпотезу, що усередині магнітів існують мікроскопічні струми, обумовлені рухом електронів в атомах і молекулах. Ці молекулярні струми створюють мікроскопічні магнітні поля, що можуть взаємодіяти із магнітними полями провідників зі струмами. Наприклад, якщо поблизу будь-якого тіла помістити провідник зі струмом (макрострум), те під дією його магнітного поля мікроструми у всіх атомах орієнтуються певним чином, створюючи в тілі додаткове магнітне поле. Таким чином, всі магнітні взаємодії пояснюються взаємодією рухомих електричних зарядів, і ніяких особливих магнітних зарядів у природі не існує. Рухомі заряди створюють магнітні поля, які діють на інші електричні заряди, що рухаються в цих полях. Електричні ж поля створюються і діють як на нерухомі, так і на рухомі заряди. Виявляється, що всі електричні і магнітні явища взаємозв¢язані та взаємозалежні, оскільки є різними формами прояву єдиного електромагнітного поля. Рух електричного заряду супроводжується переміщенням зв'язаного із ним електричного силового поля, зміна якого в часі проявляється у формі виникаючого вихрового (безперервного у просторі) магнітного поля.

Для характеристики магнітного поля, як і у випадку електричного поля, вводяться дві векторні величини. Вектор магнітної індукціїВ характеризує результуюче магнітне поле, створюване всіма макро- та мікрострумами: тобто, при тому самому макрострумі і інших рівних умовах вектор В в різних середовищах буде мати різні значення, оскільки магнітна індукція залежить від властивостей середовища. Величина, яка показує, у скільки разів магнітна індукція в даному однорідному ізотропному середовищі В відрізняється (більше або менше) від індукції у вакуумі В ₀, називається відносною магнітною проникністю середовища: m=В/В ₀. Ця величина характеризує магнітні властивості середовища, залежить від природи речовини і температури, є безрозмірною, може бути як більшою, так і меншою за одиницю (поле макроструму може як підсилюватись, так і послаблятись мікрострумами середовища). Для вакууму m= 1. Магнітне поле у вакуумі прийнято характеризувати не індукцією В ₀, а напруженістю магнітного поляН, що описує тільки магнітне поле макрострумів (залежить тільки від геометрії провідника і сили струму в ньому). Ці дві фізичні величини зв'язані між собою: Н = В ₀ /m ₀ або В ₀ =m ₀ × Н, де m ₀ = 4 p ×10^-7 Гн/м – магнітна стала. Одиниця магнітної індукції – тесла (Тл), а одиниця напруженості магнітного поля – ампер на метр (А/м). Вектори В та Н збігаються за напрямком, і для однорідного ізотропного середовища вони зв'язані співвідношенням: В =m×m ₀ × Н. Можна відзначити, що індукція магнітного поля В є аналогом напруженості електричного поля Е, а напруженість магнітного поля Н є аналогом електричної індукції D.

Так само, як електричні поля графічно зображують за допомогою ліній напруженості (силових ліній), магнітні поля також зображують за допомогою ліній магнітної індукції (також силових ліній). Лінії магнітної індукції – лінії, дотичні до яких у кожній точці простору збігаються за напрямком із вектором В в цій точці. Напрямок магнітних силових ліній зв'язане із напрямком струму у провіднику правилом правого гвинта (буравчика): якщо поступальний рух правого гвинта збігається із напрямком струму у провіднику, то його обертальний рух буде вказувати напрямок ліній магнітної індукції. Із досвіду відомо, що лінії магнітної індукції прямого провідника зі струмом являють собою концентричні кола, які лежать у перпендикулярній струму площині. Зображення ліній магнітної індукції В

провідників зі струмом будь-якої форми можна одержати за допомогою залізних ошурок (Рис.9.1). На відміну від ліній напруженості електричного поля, які починаються на позитивних зарядах і закінчуються на негативних, лінії магнітної індукції завжди замкнуті і охоплюють провідники зі струмами. Це і означає, що у природі не існує магнітних зарядів (джерел та стоків), на яких би вони починались і закінчувались. Такі поля називаються вихровими. Магнітне поле називають однорідним, якщо магнітна індукція у всіх його точках однакова. Лінії магнітної індукції однорідного поля паралельні, і їхня густота однакова.

Рис.9.1.

Для магнітних полів, як і для електростатичних, справедливий принцип суперпозиції полів: магнітна індукція результуючого поля, створювана декількома провідниками зі струмами або рухомими зарядами, дорівнює векторній сумі магнітних індукцій полів, створюваних кожним із них окремо:

(9.2)

Напруженості магнітних полів залежать тільки від сили струму у провіднику та його геометрії (а магнітна індукція ще і від властивостей середовища, у якму він знаходиться). Узагальнюючи експериментальні дані фізиків Біо та Савара, французький математик Лаплас запропонував формулу, по якій можна обчислювати напруженість поля, створюваного елементом струму I×d l у точці А, розташо-ваній від цього елемента на відстані r (Рис.9.2). У векторному вигляді закон Біо-Савара-Лапласа має вигляд:

або (9.3)

Рис.9.2.

У скалярному вигляді: або (9.4) де a - кут між елементом струму I×dl і радіусом-вектором r цього елемента. Застосування цього закону разом із принципом суперпозиції дозволяє визначати напруженості магнітних полів, створюваних провідникамизі струмом правильної

геометричної форми. Наприклад, напруженість (і індукція) поля нескінченного довгого прямого провідника зі струмом І на відстані r:

(9.5)

Напруженість (і індукція) поля в центрі кругового витка радіуса R зі струмом І:

(9.6)

Напруженість (і індукція) поля усередині соленоїда – згорнутого в спіраль ізольованого провідника довжиною L, що містить N витків:

(9.7)

де n=N/L – концентрація намотування витків (їхня кількість на одиницю довжини соленоїда). Поле усередині соленоїда однорідне.

Напруженість (і індукція) поля точкового заряду q, який рухається із нерелятивістською сталою швидкістю V у точці простору, радіус-вектор якої r:

(9.8)

Сила, із якою магнітне поле з індукцією В діє на елемент провідника довжиною d l зі струмом I, називається силою Ампера, і у векторному вигляді визначається так:

(9.9)

або у скалярному вигляді: d=I×B×dl×sin (a), де a - кут між d l та В. Напрямок сили Ампера визначається за правилом лівої руки: якщо долоню лівої руки розташува-

Рис.9.3.

ти так, щоб в неї входили лінії магнітної індукції, а чотири витягнутих пальці показували напрямок струму у провіднику, то відігнутий великий палець покаже напрямок сили Ампера (Рис.9.3). Використовуючи цей закон, легко одержати формулу для сили взаємодії між двома паралельними прямими провідниками зі струмом, записану нами раніше (9.1). Закон Ампера є основним в ученні про магнетизм та відіграє таку саму роль, як і закон Кулона у електростатиці.

Оскільки магнітне поле діє на провідники зі струмом, то воно буде діяти і на кожен окремий рухомий заряд. Сила, з якою магнітне поле діє на рухомий зі швидкістю V заряд q, називається силою Лоренца і у векторному вигляді визначається формулою:

(9.10)

або у скалярному вигляді: F_л=q×V×B× sin(a), де a - кут між V та В. Напрямок сили Лоренца, яка діє на позитивний заряд, також визначається за правилом лівої руки (чотири витягнутих пальці лівої руки потрібно сполучити зі швидкістю руху позитивного заряду, рис.9.3). Сила Лоренца, яка діє на негативний заряд, буде мати напрямок, протилежний відігнутому великому пальцю. Очевидно, що ця сила перпендикулярна векторам V і B, тому вона не здійснює роботи. Магнітне поле не діє на нерухомий електричний заряд, а діє тільки на заряд, який рухається у ньому. У цьому полягає суттєва відмінність магнітного поля від електричного. Якщо на рухомий заряд одночасно діють електричне поле із напруженістю Е і магнітне поле з індукцією В, то сила Лоренца з боку електромагнітного поля визначається формулою:

(9.11)

Якщо частинка влітає у магнітне поле уздовж ліній магнітної індукції, то a= 0 або p, тому F_л= 0, і частинка буде рухатись рівномірно і прямолінійно.

Якщо частинка влітає у магнітне поле перпендикулярно лініям магнітної індукції, то a=p /2, тому сила Лоренца перпендикулярна до траєкторії, і частинка буде рухатись по колу. Радіус цього кола визначається з умови q×V×B = m×V ² /r і складає:

(9.12)

Проміжок часу Т, за який частинка здійснює повний оберт (період обертання) складає:

(9.13)

Якщо частинка влітає у магнітне поле під кутом a до вектора В, то її рух у

Рис.9.4.

даному випадку можна уявити у вигляді суперпозиції: 1) рівномірного прямолінійного руху уздовж поля зі швидкістю V || = =V× cos(a); 2) рівномірного руху зі швидкістю V ^ =V× sin(a) по колу у площині, перпендикулярній полю. В результаті додавання обох рухів виникає рух по гвинтовій лінії (Рис.9.4), вісь якої паралельна магнітному полю, крок якої h (відстань між сусідніми витками) дорівнює: (9.14)

Американський учений Е.Холл виявив, що при приміщенні провідника (або

напівпровідника) зі струмом у магнітне поле, на його протилежних гранях виникає поперечне електричне поле (у напрямку,перпендикулярному вектору магнітної індукції В та напрямку струму). Це явище має назву ефекту Холла і обумовлене дією сили Лоренца на носії струму. Якщо металева пластинка товщиною а та

шириною d зі струмом густиною j, який тече до нас, приміщена у поперечне однорідне магнітне поле з індукцією В (Рис.9.5), то рухомі з упорядкованою середньою швидкістю V електрони зазнають дії сили Лоренца, рівної e×V×B. Під її дією, спрямованою за правилом лівої руки ліворуч, рухомі від нас електрони будуть відхилятись до лівої грані пластинки, створюючи на ній надлишковий негативний заряд. На правій грані

Рис.9.5.

пластинки виникає недолік електронів, заряджаючи її позитивним зарядом. Таким чином, між бічними гранями пластинки виникне додаткове поперечне електричне поле, напруженістю Е_х, спрямоване праворуч.

Коли напруженість Е_х поперечного поля досягає такої величини, що його дія на заряди буде врівноважувати силу Лоренца, те у поздовжньому напрямку установиться стаціонарний розподіл зарядів. При цьому F_ел=F_л, або

(9.15)

Звідки,

(9.16)

Враховуючи, що сила струму I=j×S= (n×e×V)×(a×b), одержуємо остаточно для холлівскої різниці потенціалів вираз:

(9.17)

де R_x= 1 /e×n – стала Холла, яка залежить від роду речовини. За визначеним значенням сталої Холла можливо: 1) визначати концентрацію носіїв струму n (при відомих характеру провідності та заряду носіїв); 2) судити про характер провідності напівпровідників (оскільки знак сталої Холла збігається зі знаком заряду е носіїв струму).

Розглянемо дію магнітного поля на контур зі струмом. Орієнтація контура у просторі характеризується напрямком позитивної нормалі до площини контура, що збігається із напрямком поступального руху правого гвинта, якщо його обертальний рух співпадає із напрямком струму у контурі. Для визначеності припустимо, що контур має прямокутну форму зі сторонами а та l. Нехай площина контуру перпендикулярна лініям магнітної індукції (тобто, кут a між нормаллю до контура і вектором В дорівнює нулю). Якщо магнітне поле однорідне (В=const), то на протилежні сторони контуру будуть діяти однакові за величиною і протилежні за напрямком пара сил Ампера. За правилом лівої руки, вони лежать у площині контура і деформують його (або стискають, або розтягують у залежності від напрямку струму). Якщо ж поле неоднорідне, то контур не тільки деформується, але і переміщується під дією рівнодійної сили D F. Припустимо, що магнітне поле у площині контура змінюється по лінійному закону. Тоді для різниці значень магнітної індукції поля, у якому знаходяться ліва та права сторони контуру шириною а можна записати:

(9.18)

де величина ( ¶ В /¶ х) характеризує швидкість зміни індукції магнітного поля у напрямку осі х і називається «градієнтом індукції». Через різницю у значеннях індукції, виникне різниця у значеннях сили Ампера, які діють на протилежні сторони контуру довжиною l, яку можна представити так:

(9.19)

де S=a×l – площа контуру. Вектор, напрямок якого збігається із напрямком позитивної нормалі, а модуль дорівнює добутку сили струму у контурі на його площу p_m = I×S× n, називають магнітним моментом контуру зі струмом (рис.9.6). Одиниця магнітного моменту – ампер на квадратний метр [ p_m ]=[ A×м ²]. Тепер вираз для

	результуючої сили можна переписати у вигляді: (9.20) Очевидно, що якщо напрямки вектора магнітної індукції і магнітного моменту контура збігаються, то сила D F буде спрямована у бік збільшення поля, тому контур буде втягуватись у зо-ну з більшою індукцією. Якщо ж вектори pm та B антипаралель ні, то сила D F буде спрямована у бік зменшення поля, тому кон-
Рис.9.6.

тур буде виштовхуватись із зони з більшою індукцією. Якщо ж площина контуру (його сторона а) складає із вектором В кут j, то на ці сторони діють деформуючі контур сили (стискаючі або разтягуючі його), а на кожну зі сторін довжиною l діє сила Ампера F_А=I×B×l. Ці сили створюють пару, момент якої становить:

(9.21)

де a×l=S – площа контуру. Враховуючи, що cos(j) = cos(p/ 2 -a) = cos(a) та I×S=p_m, цей вираз можна переписати у вигляді:

(9.22)

Це означає, що рамка зі струмом зазнає у магнітному полі орієнтуючої дії з боку пари сил, момент якої залежить як від властивостей поля, так і від властивостей рамки. Цей момент намагається повернути рамку таким чином, щоб її площина стала перпендикулярною до вектора магнітної індукції (кут a між векторами p_m та В стає рівним 0 або p). У векторній формі останнє співвідношення має вигляд:

(9.23)

При повороті рамки на кут da момент сил здійснює роботу:

(9.24)

Тут добуток F=B×S× cos(a) називається потоком вектора магнітної індукції через площадку S (скорочено цю величину називають магнітним потоком). Це скалярна фізична величина, пропорційна кількості ліній магнітної індукції, якї проходять через дану площадку. В залежності від знаку cos(a), який визначається ви-

	бором напрямку позитивної нормалі, магнітний потік може бути і позитивним (F >0), і негативним (F <0) (рис.9.7). Якщо магнітне поле неоднорідне, розглянута поверхня розбивається на елементарні площадки dS, у межах яких поле можна вважати однорідним, тоді dF=B×d× cos(a) =Bn×dS. Тоді сумарний потік через всю поверхню обчислюється інтегруванням: (9.25)
Рис.9.7.

Якщо поверхня замкнута, то потік крізь неї: Цей вираз уявляє собою теорему Остроградського-Гаусса для магнітного поля, яка відображає той факт, що магнітні заряди в природі відсутні: лінії магнітної індукції не мають ні початку, ні кінця та є замкнутими. Тому їхня кількість, яка входить у будь-яку замкнуту поверхню, дорівнює кількості вихідних із неї. Одиниця магнітного потоку – Вебер (Вб). [1 Вб]=[1 Тл×м²].

Таким чином, робота щодо переміщення контуру зі струмом силами Ампера у магнітному полі визначається добутком сили струму в контурі на зміну магнітного потоку, зчепленого із цим контуром (що пронизує його).

Дата добавления: 2014-11-07