Закони Ома і Джоуля-Ленца

Якби рух електронів у провіднику відбувався без втрат енергії, то під дією електричної сили F =e× E, відповідно до другого закону Ньютона, електрони рухалися б із прискоренням:

(8.3)

де m_e – маса електрона. Однак у процесі дрейфу, вільні електрони зіштовхуються із позитивними іонами кристалічної ґратки металу, які знаходяться у тепловому коливальному русі. В процесі взаємодії електрони втрачають свою кінетичну енергію, одержувану ними під дією електричного поля джерела струму, яка перетворюється при цьому у внутрішню енергію провідника – теплову. Для простоти припустимо, що при кожному зіткненні електрон повністю втрачає ту частину своєї кінетичної енергії, яку він набуває під дією електричної сили. Це означає, що після кожного зіткнення електрон має тільки швидкість теплового руху U_cеp (а початкова швидкість дрейфу V ₀ = 0), а перед кожним наступним зіткненням його швидкість зростає до значення V=a×t, де t - час вільного пробігу (середній проміжок часу між двома послідовними зіткненнями електрона з іонами ґратки), який можна виразити через довжину вільного пробігу l: t=l/U_cеp. Середня швидкість дрейфу електронів може бути визначена так:

(8.4)

Отже, густина струму у провіднику буде дорівнювати:

(8.5)

Коефіцієнт при напруженості поля Е визначається властивостями матеріалу провідника і називається його питомою провідністю. Позначивши її через g, отриманий вираз можна переписати у вигляді:

(8.6)

Це співвідношення, яке зв'язує густину струму у будь-якій точці провідника із напруженістю електричного поля у цій точці, називається законом Ома у диференціальній формі. Очевидно, що напрямки векторів j і E збігаються, оскільки носії заряду у кожній точці рухаються в напрямку поля. Закон Ома справедливий і для змінних електричних полів. Величина, зворотна електричній провідності, позначається r і називається питомим опором провідника (r= 1 /g).

Визначимо кінетичну енергію дрейфу електронів, яка передається кристалічній ґратці провідника і перетворюється в тепло. Додаткова кінетична енергія, яку набуває електрон до кінця свого вільного пробігу, складає:

. (8.7)

Середнє число зіткнень електрона за 1 секунду із вузлами кристалічної ґратки z_cp= =l/U_cеp. Якщо n – концентрація електронів, то енергія, передана ґратці у одиниці об’єму провідника за одиницю часу визначається формулою:

(8.8)

де g - питома провідність матеріалу провідника. Це співвідношення було вперше експериментально встановлене англійським фізиком Джоулем і, незалежно від нього, росіянином фізиком Ленцем, і називається законом Джоуля-Ленца у диференціальній формі. Ліва частина цієї формули представляє собою кількість тепла, яке виділяється у одиниці об'єму провідника за одиницю часу при протіканні по ньому електричного струму, і називається питомою тепловою потужністю струму w=dQ/dV×dt [Дж/м³×c]=[Вт/м³].

Провідники (метали) володіють як великою електропровідністю, так і високою теплопровідністю. Це пояснюється тим, що носіями струму і теплоти у металах є ті самі частки – вільні електрони. Переміщуючись у металі, вони переносять не тільки електричний заряд, але і властиву їм енергію хаотичного (теплового) руху, тобто здійснюють перенос теплоти. Виміри показали, що майже для всіх металів відношення коефіцієнту теплопровідності k до питомої провідності g при сталій температурі однакове і збільшується пропорційно температурі:

де (8.9)

Тут k – стала Больцмана, е – заряд електрона. Це твердження має назву закону Відемана-Франца.

Одержимо вирази законів Ома і Джоуля-Ленца у більш загальному, інтегральному вигляді. Для цього закон у диференціальному вигляді j=g×E перепишемо з урахуванням того, що для сталого струму j=I/S, g= 1 /r. Тоді, для напруженості поля маємо: E=r×I/S. Помножимо обидві частини рівності на елемент довжини провідника dl та проінтегруємо по всій його довжині:

(8.10)

Ліва частина цієї рівності являє собою різницю потенціалів (напругу) на кінцях провідника (дивись попередню лекцію). Отже, отриману рівність можна переписати так:

або де (8.11)

називається електричним опором провідника, який характеризує міру протидії провідника протіканню у ньому електричного струму. Отримане співвідношення найчастіше записується у вигляді I=U/R, називається законом Ома для однорідної (що не містить джерела струму) ділянки кола і формулюється так: сила струму у провіднику прямо пропорційна прикладеній напрузі і обернено пропорційна опору провідника.

Якщо провідник складається із однорідного матеріалу (r=const) та має однаковий поперечний переріз (S=const), то залежність електричного опору від його геометричних розмірів має вигляд:

(8.12)

Одиниці виміру електричного опору [ R ]=[Ом], питомого опору [ r ]=[Ом×м], електричної провідності [ G ]=[1/ R ]=[1/Ом]=[См] (сіменс), питома провідність [ g ]=[1 /r ]= =[1/Ом×м]=[См/м] (сіменс на метр). При послідовномуз¢єднанні декількох провідників (I ₁ =I ₂ =…=I_n), загальний опір усієї ділянки кола визначається співвідношенням: R_заг=R ₁ +R ₂ +…+R_n. При паралельному з¢єднанні (U ₁ =U ₂ =…=U_n) загальний опір всієї ділянки кола знаходять за формулою:

(8.13)

Як було відзначено вище, електричний опір залежить від матеріалу провідника, тобто від будови його кристалічної ґратки. Крім того, при підвищенні температури зростає інтенсивність теплового руху іонів ґратки та частішають зіткнення дрейфуючих електронів з іонами, тому опір провідників залежить від температури. Залежності питомого опору (і опору) провідників від температури мають вигляд:

(8.14)

де r і r ₀, R і R ₀ – відповідно питомі опори та опори провідника при температурах t ⁰ C і 0⁰ С, a - температурний коефіцієнт опору провідника. Значення a різні при різних температурах, проте для багатьох металів зміна a (t) несуттєва. Для всіх чистих металів при не дуже низьких температурах a =1/273 К^-1. Залежність опору металів від температури покладена в основу будови термометрів опору. Вони застосовуються як при дуже високих, так і при дуже низьких температурах, коли застосування рідинних термометрів неможливе.

У 1911 році голландський фізик Камерлінг-Оннес знайшов, що при знижен-ні температури ртуті нижче 4,2 К (близько –269⁰С), її питомий опір різко упав до такої малої величини, що його практично стало неможливо виміряти. Це явище обертання електричного опору в нуль він назвав надпровідністю. У наш час надпровідність виявлена у більш ніж 25 металевих елементів, великої кільксті сплавів, деяких напівпровідників і полімерів. Температура Т_кр переходу провідників у

	надпровідний стан для чистих металів лежить у межах від 0,14 К для іридію до 9,22 К для ніобію (Рис.8.1.). У останній час синтезовані матеріали, у яких надпровідність зберігається до набагато вищих температур (на-приклад, у Te2Ca2Ba2Cu3Ox – до 125 K). Рух електронів у надпровідному матеріалі настільки упорядкований, що рухомі по провіднику електрони практично не зазна
Рис.8.1.

ють зіткнень із атомами та іонами ґратки. Пояснення цього явища було дано пізніше з позицій квантової механіки.

Аналогічно можна одержати вираз закону Джоуля-Ленца у інтегральному вигляді. Запис цього закону у диференціальній формі w=g×E ² може бути представлений у вигляді:

звідки (8.15)

Тут враховано, що r×dl/dS=R – електричний опір провідника, а dV=dS×dl – його елементарний об¢єм. Застосувавши закон Ома для однорідної ділянки кола, можна записати цей закон у іншому вигляді:

(8.16)

Цей закон установлює кількість теплоти, яка виділяється у провіднику при протіканні в ньому електричного струму. Якщо сила струму змінюється у часі, кількість виділеної теплоти визначається інтегруванням:

(8.17)

Якщо у колі на носії струму (вони передбачаються позитивними) діють тільки сили електростатичного поля, то вони переміщуються від точок із більшим потенціалом до точок із меншим потенціалом. Це приводить до вирівнювання потенціалів у всіх точках кола і до зникнення електростатичного поля. Тому для існування сталого струму в ділянці кола, до його кінців потрібно підключити пристрій, який буде здійснювати поділ різноіменних зарядів. Такі пристрої називаються джерелами струму. Усередині джерел струму електричні заряди повинні рухатись у напрямку, протилежному дії сил електричного поля. Таке переміщення можливе тільки за рахунок сторонніх сил – сил неелектростатичного походження, які діють на заряди з боку джерела струму. Наприклад, у гальванічних елементах вони виникають за рахунок енергії хімічних реакцій між електродами та електролітами, у генераторах – за рахунок механічної енергії обертання ротора генератора і таке інше. Роль джерела струму у електричному колі така ж, як роль насоса, необхідного для перекачування рідини у гідравлічній системі. Завдяки дії сторонніх сил усередині джерела струму, на його полюсах підтримується постійна різниця потенціалів, а у підключеному до них електричному колі тече сталий електричний струм.

При переміщенні зарядів усередині джерела струму витрачається енергія, і отже, сторонні сили здійснюють роботу. Фізична величина, визначувана роботою сторонніх сил по переміщенню одиничного позитивного заряду вздовж замкнутого кола, називається електрорушійною силою (ЕРС) джерела струму: e=А_ст/q. Одиниця ЕРС – Вольт: [1 Дж/Кл]=[1 B]. Крім ЕРС, джерело струму характеризується внутрішнім опором r, який характеризує міру протидії самого джерела протіканню в ньому електричного струму. Розглянемо протікання струму по неоднорідній ділянці кола, яка містить джерело струму (Рис.8.2). При протіканні струму

	роботу здійснюють і сторонні сили (усередині джерела струму), і електростатичні сили (у зовнішній частині кола), тому сумарна робота щодо переміщення заряду із точки А в точку В ААВ=Аст+Аел. Якщо провідники у колі нерухомі, то за законом збереження і перетворення ене-
Рис.8.2.

ргії, здійснювана над носіями струму робота перетворюється в теплоту, яка виділяється на цій ділянці кола, тобто А_АВ=Q. Закон Джоуля-Ленца можна переписати у вигляді: Q=I ² ×R×t=I×R× (I×t) =I×R×q. Підставивши в цей закон відповідні вирази для робіт А_ст=q×e, А_ел=q ×(j ₁ -j ₂), одержимо: I×R×q=q ×(j ₁ -j ₂) +q×e. Скоротивши на q, маємо:

звідки (8.18)

Це співвідношення має назву закону Ома для неоднорідної ділянки кола (узагальненого закону Ома). Тут (j ₁ -j ₂) – різниця потенціалів, прикладена до кінців ділянки кола, e - сумарна ЕРС всіх джерел струму, включених у дану ділянку. Як і сила струму, e - скалярна величина: e >0, якщо ЕРС джерела сприяє руху позитивних зарядів, і e <0 – якщо ЕРС перешкоджає їхньому руху. Проаналізуємо цей закон для декількох окремих випадків.

1) Якщо ділянка кола однорідна (не містить ЕРС, e= 0), закон набуває вигляду: I= = D j/R=U/R – що збігається із отриманим раніше виразом. Очевидно, що напруга на кінцях ділянки кола дорівнює різниці потенціалів тільки в тому випадку, коли на ділянці відсутнє джерело струму.

2) Якщо коло замкнуте, то j ₁ =j ₂, і закон набуває вигляду: I=e/R, де R – повний опір ділянки кола, який включає і внутрішній опір джерела струму r (R=R_зовн+ +r_внут).

3) Якщо коло розімкнуте, то I= 0, тоді e= D j - ЕРС у розімкнутому колі дорівнює різниці потенціалів на його кінцях, тобто виміряти ЕРС можна на клемах розімкнутого джерела струму.

Якщо до ділянки кола сталого струму прикладена напруга U, то за проміжок часу dt через поперечний переріз провідника переноситься заряд dq=I×dt, при цьому силами електростатичного поля здійснюється робота dА=U×dq=I×U×dt. Ця робота може піти, наприклад, на збільшення внутрішньої енергії провідника (на його нагрівання), на рух провідника у магнітному полі і таке інше. Повна робота, здійснювана джерелом струму, ЕРС якого дорівнює e, визначається так:

(8.19)

Фізична величина, що характеризує швидкість здійснення роботи і визначувана роботою за одиницю часу, називається електричною потужністю. При цьому, повна потужність, яка розвивається джерелом струму на ділянці кола:

(8.20)

Одиниця потужності – Ватт [P]=1 [Дж/с]=[1 А×В]=[1 Вт]. При цьому потужність, яка виділяється у зовнішньому колі (корисна потужність), дорівнює:

(8.21)

Фізична величина, що характеризує, яка частина повної потужності, розвиваємої джерелом струму, може бути використана у зовнішній частині кола, називається коефіцієнтом корисної дії джерела струму h, який може бути розрахований із співвідношення:

(8.22)

де R – опір зовнішньої ділянки кола, r – внутрішній опір джерела струму.

Дата добавления: 2014-11-07