КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Физика атома и атомного ядра. Пример 1.Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность по-тенциалов U
Пример 1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность по-тенциалов U. Найти длину волны де Бройля , если: 1) U 1 = 51 В; 2) U 2 = 510 кВ. Решение. Длина волны де Бройля частицы зависит от ее импульса р и рассчитывается по формуле , (1) где h - постоянная Планка. Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия . Связь импульса с кинетической энергией различна для нереляти-вистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда они сравнимы между собой). В нерелятивистском случае
, (2)
где - масса покоя частицы.
В релятивистском случае
, (3)
где - энергия покоя частицы. В нерелятивистском случае из формулы (1) и соот-ношения (2) следует:
. (4)
В релятивистском случае из формулы (1) и соот-ношения (3) следует: . (5)
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U 1 = 51 В и U 2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона Е о = m o c 2 = 0,51 МэВ и в зависимости от этого решим, какую из только что полученных формул следует применить для вычисления длины волны де Бройля. Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, равна E k = е U. В первом случае МэВ, что много меньше энергии покоя электрона. Следовательно, для вычисления можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде
.
Учитывая, что есть комптоновская длина волны , получаем .
Подставив сюда значение пм, находим
155 пм.
Во втором случае кинетическая энергия МэВ, т.е. равна энергии по-коя электрона. Для вычисления необходимо при-менить формулу (5):
1,27 пм.
Пример 2. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка =10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома. Решение. Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид
D x ×D p ³ , (1)
где D х - неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона); D р - неопределенность импульса электрона; - постоянная Планка (h /2 p). Из соотношения неопределенностей следует, что, чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с
неопределенностью D х = l /2.
Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде
(l /2)D р ³ , откуда l ³ /D p.
Неопределенность импульса не должна превышать значение самого импульса р, т.е. D р £ р. Импульс р связан с кинетической энергией соотношением . Заменим D р значением . (Такая замена не увеличит величину l.) Переходя от неравенства к равенству, получим
= / . (2)
Проверим размерность . Для этого в правую часть формулы (2) вместо символов величин подставим их единицы измерения:
= м.
Найденная единица измерения является единицей измерения длины. Произведем вычисления:
м.
Пример 3. Волновая функция описывает состояние частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной l. Вычислить вероятность
нахождения частицы в малом интервале D l, состав-ляющем 1% от ширины ямы, в двух случаях: 1) вблизи стенки (0 £ х £ D l); 2) в средней части ямы (l /2 - D l /2 £ х £ l /2 + D l /2). Решение. Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx (от x до x + dx), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние:
.
В первом случае искомую вероятность можно найти путем интегрирования в пределах от 0 до 0,01 l (рис. 12):
. (1)
. (2)
С учетом формулы (2) выражение (1) принимает вид .
После интегрирования получаем
.
Во втором случае нет необходимости в интегрировании, так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале (D l = 0,01 l) практически не изменяется. Искомая вероятность определяется выражением
D l, или .
Пример 4. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона. Решение. Энергия фотона определяется по формуле
.
Здесь неизвестной величиной является частота , которая может быть рассчитана по спектральной формуле ,
где R – постоянная Ридберга (R = 1,1×107 м-1); с – скорость света в вакууме (с = 3×1 м/с); m – номер орбиты, на которую перешел электрон; n – номер орбиты, с которой перешел электрон.
Следовательно, энергия фотона выражается форму-лой E = hRс .
Подставим в данную формулу значения величин:
Дж.
Пример 5. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра Li. Решение. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных протонов и нейтронов. Дефект массы ядра D m определяется по формуле
D m = Z × m п+ (A - Z) × m н - m я, (1)
где Z - зарядовое число (атомный номер, или число протонов в ядре); A - массовое число (число нуклонов, состав-ляющих ядро); m п, m н, m я - массы протона, нейтрона и ядра соответственно. В формуле (1) неизвестна масса ядра лития, которая определяется из соотношения
m я = m а - Z × me, (2)
где m а - масса атома; me - масса электрона. Подставим соотношение (2) в формулу (1):
D m = Z × m п + (A - Z) × m н - m а + Z × me. (3)
Массы нуклонов, электрона и атома выразим в атомных единицах массы (а.е.м.), приняв во внимание, что 1 а.е.м.= 1,66×10-27 кг. Тогда после подстановки соответствующих значений в формулу (3) получим
D m = 3×1,00728+4×1,00867-7,01601+3×0,00065 = 0,04216 а.е.м.
Выразим D m в килограммах: D m = 0,04216×1,66×10-27 = 7×10-29 кг. Энергия связи определяется по формуле
Е св = D m× с2 = 7×10-29(3×108)2 = 63×10-13 Дж.
Пример 6. Имеется радиоактивный препарат Мg массой m = 0,2 мкг. Определить начальную активность препарата А о и активность препарата А через t = 5 ч. Период полураспада магния = 10 мин. Решение. Активность изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и равна отношению числа ядер dN, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу:
А = - dN/dt. (1)
Знак "-" показывает, что число радиоактивных ядер N со временем убывает. Для нахождения отношения dN/dt воспользуемся законом радио-активного распада , (2)
где N - число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе в момент времени t; N о - число радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный (t = 0); - постоянная радиоактивного распада. Продифференцируем выражение (2) по времени:
. (3)
Из формул (1) и (3) следует, что активность препарата A в момент времени t равна
. (4)
Если в формулу (4) подставить t = 0, получим на-чальную активность препарата А о:
А о = N о. (5)
Постоянная радиоактивного распада связана с периодом полураспада соотношением
. (6)
Число радиоактивных ядер N о, содержавшихся в изотопе в момент времени, когда его масса была равна m, определяется соотношением
, (7) где - молярная масса изотопа; N А - число Авогадро. С учетом выражения (7) формулы (5) и (4) принимают вид ;
. (8)
Произведем вычисления, учитывая, что:
1) = 10 мин = 600 с; 2) ; 3) t = 6 ч = 6×3,6×103 с = 2,16×104 с.
Бк;
Бк.
Дата добавления: 2014-11-07; Просмотров: 401; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |