Полином k-й степени

Квадратичная функция

Необходимо определить параметры функции: Y = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ².

Составим функцию (1):

.

После дифференцирования система уравнений (2) примет вид:

(4)

Решив систему (4), найдем значение параметров a _o, a ₁, a ₂.

3.3. Кубическая функция

Необходимо определить параметры многочлена третьей степени:

Y = a _o + a ₁ x + a ₂ x ² + a ₃ x ³.

Составим функцию

Система уравнений для вычисления параметров a _o, a ₁, a ₂, a ₃ примет вид:

(5)

Необходимо определить параметры многочлена k -й степени:

Y = a ₀ + a ₁ x + a ₁ x ² +... + a_k x^k.

Тогда система уравнений для определения параметров a_k принимает вид:

(6)

3.5. Функции, приводимые к линейной

Для вычисления параметров функции Y = ax^b необходимо выполнить некоторые арифметические преобразования:

ln(y) = ln(ax^b) = ln(a) + b ln(x)

и сделать замену

Y = ln(y), X = ln(x), A = ln(a),

которая приведет заданную функцию к линейному виду Y = A + bX, где коэффициенты A и b вычисляются по формулам (3.3) и, соответственно, a = e^A.

Аналогично можно подобрать параметры функции вида Y = ae^bx.

Прологарифмируем заданную функцию:

ln(y) = ln(a) + bx ln(e) Þ ln(y) = ln(a) + bx.

Проведем замену: Y = ln(y), A = ln(a) и получим линейную зависимость Y = bx + A. По формулам (1.3) найдем A и b, а затем вычислим a = e^A.

В табл. 1.20, приведены примеры еще нескольких функций, которые сводятся к линейной функции элементарными заменами.

Преобразование функций Y = f (x, a,b) к виду Y = Ax + b

Функция	Замена	Функция	Замена	Функция	Замена

3.6. Подбор параметров функции y = ax^be^cx

Прологарифмируем выражение Y = ax^be^cx:

ln (y)= ln (a) + b ln (x) + cx ln (e)

и сделаем замену Y = ln(y), A = ln(a):

Y = A + b ln (x) + cx.

Составим функцию по формуле (1):

.

После дифференцирования получим систему трех линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов A, b и c.

(7)

Значение коэффициента а вычислим по формуле a = е^A.

Дата добавления: 2014-11-07