Кинематика

Положение материальной точки в пространстве задается радиус-

вектором :

,

где - единичные векторы, x,y,z - декартовы координаты точки.

Быстроту изменения положения точки в пространстве с течением времени характеризует скорость.

Средняя скорость

,

где - перемещение точки за время D t.

Мгновенная скорость

,

где .

Модуль скорости

Быстроту изменения вектора скорости с течением времени характеризует ускорение.

Среднее ускорение

.

Мгновенное ускорение

где .

При движении точки вдоль оси OX

;

где V_0X и х₀ - скорость и координата в момент времени t=0.

При равнопеременном движении(a_X=const) вдоль оси ОХ

В случае криволинейного движения

,

где - нормальное ускорение, характеризует изменение скорости по направлению и направлено к центру кривизны в данной точке траектории; - тангенциальное ускорение, характеризует изменение скорости по величине и направлено вдоль касательной в данной точке траектории.

Модуль полного ускорения

,

где - радиус кривизны траектории.

Положение твердого тела при вращении вокруг оси определяется углом поворота j.

Средняя угловая скорость

где Dj - изменение угла поворота за интервал времени Dt.

Мгновенная угловая скорость

Угловое ускорение

Кинематические уравнения при вращении твердого тела:

где w₀ и j₀ - начальные угловая скорость и угол поворота.

При равнопеременном вращении

.

Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение точки:

; .

примеры решения задач

Задача 1. Движение материальной точки задано уравнением (м). Определить скорость точки в моменты времени t₁=2 с и t₂=4 с, а также среднюю скорость в интервале времени от t₁ до t₂.

Точка прямолинейно движется вдоль оси OX. Модуль мгновенной скорости в этом случае

(м/с).

Найдем V₁ и V₂:

, м/с;

, м/с.

Средняя скорость

где

м/с.

Ответ: V₁=7 м/с, V₂=11,4 м/с, м/с.

Задача 2. С башни высотой Н = 25 м бросили камень со скоростью V₀ = 15 м/с под углом a = 30⁰ к горизонту. Через какое время t_п и на каком расстоянии S от основания башни камень упадет на землю?

Начало отсчета возьмем у основания башни.

Ось OY направим вертикально вверх, ось OX – горизонтально. Движение камня вдоль оси OX равномерное, вдоль оси OY – равнопеременное:

где , y₀=H, ,

Общие уравнения движения камня в выбранной системе отсчета примут вид

В момент падения камня t=t_n, x=S, y=0.

(1)   (2)

Решая квадратное уравнение (2), найдем t_n=3,1c.

Подставим t_n в (1), получим S=41м.

Ответ: t_n=3,1с, S=41м.

Задача 3. Небольшое тело движется по окружности радиусом R со скоростью V=kt где k=const. Найти зависимость полного ускорения от времени.

На рисунке покажем полное ускорение тела и его составляющие.

, ;

.

Модуль тангенциального ускорения

.

Модуль нормального ускорения

.

Модуль полного ускорения

Ответ:

Задача 4. Найти величину углового ускорения лопатки турбины, расположенной на расстоянии R от оси вращения, через время t₁ после пуска турбины. Зависимость линейной скорости лопатки от времени выражена уравнением где a и b - постоянные коэффициенты. Найти число оборотов N₂ через время t₂ после пуска турбины. Принять j₀=0.

Угловое ускорение

Используем связь угловой скорости с линейной:

.

Найдем зависимость углового ускорения от времени:

В момент времени

.

Угловая скорость

Выразив угол j через число оборотов (j=2pN₂) и зная w как функцию времени, получим

Число оборотов лопатки

Ответ: ; .

задачи для самостоятельного решения

1.1. Свободно падающее тело последние 196 м пути прошло за 4 с. Найти время падения.

1.2. Во сколько раз отличается время движения катера туда и обратно по реке и по озеру? Скорость течения реки 3 км/ч, скорость катера относительно воды в обоих случаях 9 км/ч. Расстояние считать одинаковым.

1.3. С какой высоты упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за время t = 0,1 с?

1.4. Два тела свободно падают с разных высот и достигают земли одновременно. Первое тело падало в течение 2 с, второе - 1 с. На какой высоте было первое тело, когда второе начало падать?

1.5. С балкона бросили мяч вертикально вверх с начальной скоростью V₀ = 5 м/с. Через время τ = 2 c мяч упал на землю. Определить высоту балкона и модуль скорости мяча вмомент удара о землю.

1.6. Два тела брошены вертикально вверх из одной точки, одно за другим, через время τ = 2 с с начальной скоростью V₀₁ = V₀₂ =29,4 м/с. Через какое время после бросания первого тела они встретятся?

1.7. Свободно падающее тело в последнюю секунду проходит половину всего пути. Определить высоту, с которой падает тело, и продолжительность его падения.

1.8. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h = 8,75 м два раза с интервалом ∆t = 3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость тела.

1.9. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V₀ = 4 м/с. Когда оно достигло верхней точки полета, из того же начального пункта с той же начальной скоростью V₀ вертикально вверх брошено второе тело. На каком расстоянии h от начального пункта встретятся тела? Сопротивление воздуха не учитывать.

1.10. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением а=5 м/с². Определить, на сколько путь, пройденный в n-ю секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую секунду. Принять V₀ = 0.

1.11. Поезд метро проходит перегон 2 км за 2 мин 20 с. Максимальная скорость поезда 60 км/ч. В начале и конце перегона поезд движется с постоянными ускорениями, равными по абсолютной величине. Определить эти ускорения.

1.12. Два тела свободно падают одно за другим с одной и той же высоты с интервалом времени τ. Через какое время от начала падения первого тела расстояние между ними будет равно r?

1.13. Наблюдатель стоит в начале электропоезда. Первый вагон прошел мимо него за время τ =1 с. Какое время будет двигаться мимо него седьмой вагон? Движение поезда равноускоренное, его начальная скорость V₀ = 0.

1.14. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью

V₀ = 20 м/с. Через сколько секунд камень будет находиться на высоте

h = 15 м? Какова будет скорость V камня на этой высоте? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.15. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через время τ = 2 c он упал на землю на расстоянии S = 40 м от основания вышки. Определить начальную V₀ и конечную V скорости камня.

1.16. Горизонтально брошенный мяч ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии S = 5 м от нее. Высота места удара мяча о стенку на 1 м меньше высоты, с которой брошен мяч. Под каким углом α мяч подлетает к поверхности стенки? Сопротивление воздуха не учитывать.

1.17. Тело брошено под углом к горизонту. Наибольшая высота подъема и радиус кривизны траектории движения тела в верхней точке траектории равны 3 м. Найти начальную скорость тела и угол, под которым его бросили. Сопротивление воздуха не учитывать.

1.18. Дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью V₀ = 9,8 м/с, равна высоте, с которой брошено тело. Чему равна эта высота?

1.19. Тело, брошенное под углом α = 30⁰ к горизонту, дважды было на одной и той же высоте h: спустя t₁ = 10 с и t₂ = 50 с. Определить начальную скорость тела и высоту его подъема.

1.20. Пуля пущена с начальной скоростью V₀ = 200 м/с под углом α = 60⁰ к горизонту. Определить максимальную высоту подъема h и радиус кривизны траектории R пули в ее наивысшей точке.

1.21. Тело брошено под некоторым углом α к горизонту. Найти величину этого угла, если горизонтальная дальность полета тела S в 4 раза больше максимальной высоты траектории h.

1.22. Камень брошен горизонтально. Через время t = 3 с вектор его скорости образует с горизонтом угол α = 60⁰. Какова была начальная скорость V₀ камня?

1.23. Камень брошен под углом α = 60⁰ к горизонту cо скоростью V₀ =19,6 м/с. Вычислить нормальную составляющую ускорения камня через время τ = 0,5 с после начала движения.

1.24. Дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью V₀ = 9,8 м/с, равна высоте, с которой брошено тело. Под каким углом к α горизонту тело упадет?

1.25. Мальчик бросает мяч со скоростью V₀ = 10 м/с под углом α = 45⁰ к горизонту. На какой высоте мяч ударится о стенку, если она находятся на расстояния S = 3 м от мальчика?

1.26. С башни высотой h = 20 м горизонтально бросают мяч со скоростью V₀ = 10 м/с. На каком расстоянии S от башни мяч упадет на землю?

1.27. Маховик начал вращаться равноускоренно и за время τ = 10 с его частота стала n = 300 об/мин. Найти угловое ускорение маховика и число оборотов, которое он сделал за это время.

1.28. Точка движется по окружности радиусом R = 10 м с постоянным тангенциальным ускорением а_τ, если известно, что к концу пятого оборота скорость точки V = 79,2 см/с. Найти а_τ.

1.29. Колесо автомашины вращается равноускоренно. После 50 полных оборотов частота вращения колеса возросла от n₁ = 4 об/с до n₂ = 6 об/с. Определить угловое ускорение колеса e.

1.30. Движение точки по окружности радиусом R = 200 см задано уравнением S = 2t³ (м). В какой момент времени нормальная составляющая ускорения a_n точки будет равна ее тангенциальной составляющей a_τ? Определить полное ускорение а в этот момент.

1.31. Движение точки в плоскости XY задано уравнениями X = 2t–0,5t³ (м), Y = 2t – t² (м). Определить скорость точки V к концу второй секунды.

1.32. По дуге окружности радиусом R = 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальная составляющая ускорения a_n= 4,0 м/с², а векторы полного и нормального ускорений образуют угол α = 60⁰. Найти скорость и тангенциальную составляющую ускорения точки.

1.33. Движение точки по окружности радиусом R = 4 м задано уравнением S = 10 + t² - 2t. Найти тангенциальное a _τ, нормальное a_n и полное а ускорения точки в момент времени t = 2 с.

1.34. Движение материальной точки задано уравнением Х = 4t - - 0,05t². Определить момент времени, в который скорость точки равна нулю. Найти координату и ускорение точки в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени.

1.35. Путь, пройденный телом, задан уравнением S = 2t – t² + t³ (м). Найти среднюю скорость тела в интервале от 1 до 5 с.

1.36. Путь, пройденный телом, задан уравнением S = 2 + 12t - -6t² + 4t³ (см). Найти среднее ускорение тела в интервале от 1 до 4 с.

1.37. Путь, пройденный точкой поокружности радиусом R = 7 см, задан уравнением S = 4 + 2t + 0,5t² (см). Определить полное ускорение a точки к концу пятой секунды.

1.38. Частота маховика уменьшалась с n₀ = 10 об/с до n = 6 об/с. За время торможения он сделал N = 50 оборотов. Определить угловое ускорение маховика e и продолжительность торможения t.

1.39. Тело вращается вокруг неподвижной оси. Угол поворота задан уравнением φ = 6t -2t³. Найти угловое ускорение тела e в момент его остановки.

1.40. Точка движется по окружности радиусом 20 см с постоянным тангенциальным ускорением 5см/с². Через какое время после начала движения нормальное ускорение точки станет в 2 раза больше тангенциального?

1.41. Диск радиусом R = 0,2 м вращается вокруг фиксированной оси, проходящей через его геометрический центр. Зависимость угла поворота от времени задана уравнением φ = 3 + 0,1t³ - t. Определить для момента времени t = 5 с тангенциальное а_τ, нормальное a_n и полное а ускорения точек на краю диска.

1.42. Точка движется по окружности с угловым ускорением ε ~ t. При t = 0 угловая скорость ω = 0. Модуль нормального ускорения точки a_n ~ t^k. Найти значение показателя k.

1.43. Зависимость угла поворота тела вокруг неподвижной оси от времени задана уравнением φ = A + Bt + Ct², где A = 10 рад, B = 20 рад/c, С = -2 рад/c². Найти для момента времени t = 4 c полное ускорение точки, находящейся на расстоянии R = 1 м от оси вращения.

1.44. На цилиндр радиусом R = 4 см, который может вращаться около неподвижной горизонтальной оси, намотана нить. К концу нити привязали грузик и предоставили ему возможность опускаться. За время t = 3 с грузик опустился на высоту h =1,5 м. Определить угловое ускорение цилиндра.

1.45. Точка движется по окружности радиусом R = 20 см с постоянным тангенциальным ускорением a_τ = 5 cм/с². Через какое время после началадвижения нормальная составляющая ускорения a_n = 2a_τ?

1.46. Камень брошен с начальной скоростью V₀ = 19,6 м/с под углом α = 30⁰ к горизонту. Определить радиус кривизны траектории движения R в высшей ее точке.

1.47. Тело брошено со скоростью V₀ = 19,6 м/с под углом α = 30⁰ к горизонту. Определить нормальную составляющую ускорения тела а_п через время τ = 1,5 с после начала движения.

1.48. Камень брошен горизонтально со скоростью V₀ = 9,8 м/с. Чему равна нормальная составляющая ускорения камня а_п через две секунды после начала его движения?

1.49. Тело брошено под углом к горизонту. Радиус кривизны траектории движения тела и его скорость связаны соотношением R ~ V^k. Найти значение показателя степени k. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.50. Тело брошено под углом к горизонту. Нормальная составляющая ускорения и скорость тела связаны соотношением а_п ~ V^k. Найти значение показателя степени k. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.51. Лодка стоит на расстоянии S = 8 м от отвесного берега реки. Высота берега h = 6 м. С берега на лодку бросают груз. С какой скоростью V₀ надо бросить груз, чтобы его скорость при ударе о лодку была минимальной? Под каким углом a к горизонту необходимо бросить груз?

1.52. Мяч бросают в стенку, находящуюся на расстоянии S = 20 м c начальной скоростью V₀ = 20 м/с. Какой наибольшей высоты при ударе о стенку может достичь мяч? Под каким углом к горизонту его надо бросать в этом случае?

1.53. С башни высотой h = 10 м со скоростью V₀ = 10 м/с бросают мяч. На какое наибольшее расстояние от основания башни может улететь мяч? Под каким углом a к горизонту его надо в этом случае бросать?

1.54. Шарик падает без начальной скорости на поверхность наклонной плоскости, составляющей угол α = 30⁰ с горизонтом. Расстояние по вертикали от начального положения шарика до точки удара с плоскость h = 80,0 см. Считая удар шарика о плоскость абсолютно упругим и пренебрегая возможным вращением шарика, найти наибольшее его удаление от плоскости.

1.55. Фонарь висит на расстоянии d = 5 м от стены и отбрасывает на нее световой луч ("зайчик"). Фонарь совершает затухающие колебания, и его угол поворота зависит от времени t по закону φ = φ₀ e^-at sin ωt (φ₀ = π/3, a = 1 c^-1, ω = 1 с^-1). Найти наибольшее смещение "зайчика" от точки О, ближайшей к фонарю. Найти скорость "зайчика" в момент времени t=0.

2. основное уравнение динамики

Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона) в векторной форме:

При уравнение примет вид

.

В этих уравнениях - геометрическая сумма сил, действующих на точку, - импульс, - масса, - скорость и - ускорение материальной точки.

примеры решения задач

Задача 1. Тело массой кг движется по вертикальной стене. Сила действует под углом a = 30⁰ к вертикали. Коэффициент трения . Найти величину силы , если ускорение тела направлено вверх и равно a = 2 м/с² .

На тело действуют четыре силы: сила , сила тяжести , сила реакции опоры и сила трения . Покажем эти силы на рисунке.

Запишем II закон Ньютона в виде

. (1)

Ось OY направим вертикально вверх, ось OX – перпендикулярно стене. В проекциях на оси координат уравнение (1) примет вид

OХ: , (2)

OY: . (3)

Сила трения скольжения

. (4)

Используя (2) и (4), перепишем (3):

.

Отсюда

Н.

Ответ: Н.

Задача 2. В лифте, движущемся вертикально вверх с ускорением 0,2 м/с ², вращается столик с угловой скоростью рад/с. На столике лежит брусок, коэффициент трения равен 0,1. Найти максимальное расстояние между бруском и осью вращения, при котором он удерживается на столике. Принять g = 9,8 м/c ²,

Брусок участвует в двух движениях одновременно: поступательно движется вверх с ускорением и вращается вокруг неподвижной оси с центростремительным ускорением . Запишем II закон Ньютона для бруска:

, где .

Выберем оси координат OX и OY. В координатной форме основное уравнение движения примет вид

(1)

(2)

где a_n = w² R, F_TP = μN.

Из (2) N = m (a₁ + g),

F_TP = mm (a₁ + g).

Перепишем (1):

mw²R =mm (a₁ + g).

Получим, что

.

После подстановки данных и вычислений R = 0,1 м.

Ответ: R = 0,1 м.

Задача 3. С вертолёта, неподвижного висящего на некоторой высоте над поверхностью земли, сброшен груз массой m. Считая, что сила сопротивления воздуха изменяется пропорционально скорости (F _сопр = kV), определить, через какой промежуток времени ускорение груза a₁ = g/2. Коэффициент сопротивления k = const.

Учитывая, что a = dV / dt, F_сопр = kV, получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

Проинтегрируем:

Получим:

Отсюда

.

В момент времени t = t₁ ускорение a₁ = g/2:

После логарифмирования:

.

Получим

.

Ответ: .

задачи для самостоятельного решения

2.1. Наклонная плоскость, образующая с горизонтом угол α = 30⁰, имеет длину l = 167 см. За какое время тело соскользнет с нее, если коэффициент трения тела о плоскость μ = 0,2?

2.2. Автомобиль массой m = 2,5 т поднимается в гору (α = 30⁰) ускоренно и за время t = 5 мин проходит путь S = 9 км. Начальная скорость автомобиля V₀ = 1 м/с, а коэффициент трения μ = 0,1. Какова сила тяги мотора автомобиля F?

2.3. Брусок соскальзывает с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α = 30⁰. Каково ускорение бруска, если коэффициент трения его о поверхность плоскости μ = 0,4?

2.4. За какое время тяжелое тело спустится с вершины наклонной плоскости, высота которой h = 2 м, угол наклона α = 45⁰? Предельный угол, при котором тело находится в покое, для этой плоскости равен α_пр = 30⁰.

2.5. Наклонная плоскость образует с горизонтом угол α = 30⁰. Ее длина l = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t = 2 с. Определить коэффициент трения тела о плоскость μ.

2.6. Тело скользит вниз по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 30⁰. Ее длина l = 2 м, коэффициент трения тела о плоскость μ = 0,2. Какова скорость тела в конце наклонной плоскости, если его начальная скорость V₀ = 0?

2.7. Тело скользит вниз по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 30⁰. Зависимость пройденного телом расстояния S от времени t дается уравнением S = ct², где с = 1,5 м/с². Найти коэффициент трения тела о плоскость μ.

2.8. На наклонной плоскости длиной l = 13 м и высотой h = 5 м лежит груз массой m = 26 кг. Коэффициент трения груза о плоскость μ = 0,5. Какую силу F надо приложить к грузу: а) чтобы втащить груз; б) чтобы стащить груз?

2.9. Мальчик тянет по горизонтальной дороге санки с грузом. С каким ускорением a движутся санки, если сила тяги F = 200 Н, а веревка образует с горизонтом угол α = 45⁰? Масса санок m = 50 кг. Коэффициент трения полозьев санок μ = 0,1.

2.10. Два связанных груза массами m₁ = 3 кг и m₂ = 5 кг лежат на горизонтальном столе, шнур разрывается при натяжении Т = 24 Н. Какую максимальную силу F можно приложить к грузу массой m₁? Коэффициент трения принять равным μ = 0,2.

2.11. Ракета движется в поле силы тяжести Земли: а) вниз с возрастающей скоростью; б) вверх с торможением. В каждом случае сравнить вес тела, лежащего на полу ракеты, с силой тяжести.

2.12. Шарик массой m висит на нити, которая закреплена. С каким ускорением a и в каком направлении следует перемещать точку подвеса, чтобы натяжение нити было равно половине силы тяжести шарика?

2.13. Через блок перекинута нить, к концам которой привязаны два груза массами m₁ = 1 кг, m₂ = 2 кг. Центры масс грузов находятся на расстоянии h = 1 м друг от друга. За какое время t их центры масс будут на одной высоте?

2.14. Через блок перекинута нить, к концам которой привязаны два груза массой по m = 95 г каждый. На левый груз кладут перегрузок массой m₁ = 7,5 г, а на правый – m₂ = 2,5 г. Какой путь S пройдёт левый груз за t = 2 с? Трением пренебречь.

2.15. Неподвижный блок укреплен на углу стола. Два груза массами m₁ = 0,5 кг и m₂ = 2 кг соединены нитью, которая, перекинута через блок. Коэффициент трения второго груза о поверхность стола μ = 0,05. Определить силу давления F на ось блока.

2.16. Грузы массами m₁ = 5 кг и m₂ = 2 кг соединены нитью, которая перекинута через блок. Определить коэффициент трения между столом и грузом массой m₂, если ускорение грузов a = 5,4 м/с².

2.17. Невесомый блок укреплен на конце стола. Грузы массами m₁ = 1 кг, m₂ = 2 кг соединены нитью, которая перекинута через блок. Найти коэффициент трения груза m о стол, если сила давления на ось блока F = 1 Н. Трение в блоке мало.

2.18. Невесомый блок укреплен на вершине наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 30⁰. Грузы массами m₁ = 20 кг, m₂ = 12 кг соединены нитью, которая перекинута через блок. Грузы движутся c ускорением a = 4 м/с². Определить коэффициент трения груза массой m₂ о плоскость. Трением в блоке пренебречь.

2.19. Ящик массой m = 300 кг поднимают равномерно по наклонной плоскости с углом наклона α = 30⁰, прилагая силу, направленную под углом β = 60⁰ к горизонту. Определить эту силу, если коэффициент трения ящика о плоскость μ = 0,1.

2.20. По столу тянут груз при помощи нити, прикрепленной к динамометру. Динамометр показывает 30 Н. Затем тот же груз приводят в движение при помощи нити, перекинутой через невесомый блок, на конце которой висит груз 3 кг. С одинаковым ли ускорением будет двигаться груз?

2.21. Тело массой m движется вверх по вертикальный стене под действием силы F, направленной под углом α к вертикали. Определить, с каким ускорением движется тело, если коэффициент трения тела о стенку равен μ?

2.22. По канатной дороге, идущей с уклоном α = 30⁰ к горизонту, спускается вагонетка массой m = 500 кг. Определить натяжение каната при торможении вагонетки в конце спуска, если скорость вагонетки перед торможением была V₀ = 2 м/с. Коэффициент трения принять равным μ = 0,01.

2.23. Маневровый тепловоз массой M = 100 т тянет два вагона массой по m = 100 т с ускорением a = 0,1 м/с². Найти силу тяги тепловоза F и силу натяжения сцепок T, если коэффициент трения равен m = 0,006.

2.24. Ящик массой m = 10 кг перемещают по полу, прикладывая к нему силу F под углом α = 30⁰ к горизонту. В течение времени τ = 1 с скорость ящика возросла с V₁ = 2 м/с до V₂ = 4 м/с. Коэффициент трения скольжения между ящиком и полом μ = 0,15. Определить силу F.

2.25. Два одинаковых бруска, связанные нитью, движутся по горизонтальной плоскости под действием горизонтальной силы F. Зависит ли сила натяжения нити: а) от массы брусков; б) от коэффициентов трения брусков о плоскость?

2.26. Два шарика а и b, подвешенные на нитях в общей точке, равномерно движутся по круговым траекториям, лежащим в одной горизонтальной плоскости. Сравнить их угловые скорости w.

2.27. На тросе длиной l подвешено тело массой m. На какой максимальный угол можно отклонить его, чтобы при движении груза трос не оборвался? Трос может выдерживать нагрузку, превосходящую силу тяжести тела в n раз.

2.28. Грузик, привязанный к шнуру длиной l = 1,5 м, вращается в горизонтальной плоскости с частотой n = 28 об/мин. Какой угол a с вертикалью образует шнур?

2.29. Велосипедист, движущийся по горизонтальной поверхности со скоростью V = 36 км/ч, описывает мертвую петлю. Определить максимальный радиус петли R.

2.30. Шарик лежит на желобе, который может вращаться вокруг оси 0С. Желоб закреплен в т. 0. На каком расстоянии от точки 0 шарик будет в равновесии при вращении желоба с частотой n = 45 об/мин? При этом желоб образует угол α = 45⁰ с вертикалью. Коэффициент трения шарика о желоб μ = 0,2.

2.31. Нить математического маятника отклонили до горизонтального положения и отпустили. Какова минимальная прочность нити F, если масса маятника m?

2.32. Самолет описывает мёртвую петлю радиусом R = 200 м. Во сколько раз сила, с которой летчик давит на сидение в нижней точке петли, больше силы тяжести летчика? Скорость самолета V = 100 м/с.

2.33. Грузик, привязанный к нити длиной l = 1 м, вращается в горизонтальной плоскости. Определить период вращения грузика T если нить отклонилась на угол α = 60⁰от вертикали.

2.34. Сравнить модуль силы натяжения нити математического маятника в крайнем положении с модулем силы натяжения нити конического маятника; длины нитей, массы грузиков и углы отклонения маятников одинаковы.

2.35. Гиря массой m = 100 г вращается на нити в вертикальной плоскости с постоянной скоростью. На сколько отличается сила натяжения нити при прохождении гири через нижнюю и верхнюю точки ее траектории движения?

2.36. Груз массой m = 25 кг подвешен на цепи длиной l = 2,5 м с прочностью на разрыв F = 500 Н. На какой угол a можно отвести груз, чтобы цепь при качаниях груза не разорвалась?

2.37. Дорожка для велосипедных гонок имеет закругление радиусом R = 40 м. В этом месте дорожка сделана с наклоном в a = 30⁰. На какую скорость u рассчитан такой наклон?

2.38. Самолет, летящий со скоростью V = 900 км/ч, делает "мертвую петлю". Каков должен быть ее радиус R, чтобы наибольшая сила давления летчика на сидение была в пять раз больше силы тяжести?

2.39. Гирька, привязанная к нити длиной l = 25 см, вращается в горизонтальной плоскости. Скорость вращения гирьки соответствует n = 2 об/с, масса ее m = 60 г. Найти натяжение нити F.

2.40. Полусферическая чаша радиусом R вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. В чаше лежит шарик М, вращающийся вместе с нею. В каком месте чаши он находится? (Рассчитать угол α, который характеризует положение шарика).

41. С какой максимальной скоростью может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая дугу радиусом R = 90 м? На какой угол от вертикали a он должен при этом отклониться? Коэффициент трения скольжения μ = 0,4.

2.42. Небольшое тело скользит вниз с вершины сферы радиусом R. На какой высоте h от вершины сферы тело оторвется от её поверхности? Трением пренебречь.

2.43. Автомобиль массой m = 3 т движется с постоянной скоростью V = 36 км/ч по выпуклому мосту радиусом R = 20 м. С какой cилой F давит автомобиль на мост в тот момент, когда линия, соединяющая центр кривизны моста с автомобилем, составляет угол α = 30⁰ c вертикалью?

2.44. С какой минимальной угловой скоростью ω нужно вращать ведерко в вертикальной плоскости, чтобы из него не выливалась вода? Расстояние от поверхности воды до центра вращения равно l.

2.45. Автомобиль движется по выпуклому мосту радиусом R = 40 м. Какое максимальное горизонтальное ускорение может развить автомобиль в высшей точке моста? Скорость его в этой точке V = 50,4 км/ч, а коэффициент трения его колес о мост μ = 0,6.

2.46. Какую минимальную скорость V должен иметь математический маятник, проходя через положение устойчивого равновесия, для того чтобы он мог вращаться по кругу в вертикальной плоскости?

2.47. С какой скоростью V должен въехать велосипедист в нижнюю точку "мертвой петли" радиусом R = 6 м, чтобы не сорваться вниз?

2.48. Привязанную гирю отвели в сторону так, что шнур принял горизонтальное положение, и отпустили. Какой угол a с вертикалью составляет шнур в момент, когда сила натяжения равна силе тяжести гири?

2.49. При насадке маховика на ось центр тяжести оказался на расстоянии r = 0,1 мм от оси вращения. В каких пределах меняется сила давления оси на подшипники, если частота вращения маховика n = 10 об/с. Масса маховика m = 100 кг.

2.50. Сосуд с жидкостью вращается с частотой n = 2 об/c вокруг вертикальной оси. Поверхность жидкости имеет вид воронки. Чему равен угол наклона поверхности жидкости в точках, лежащих на расстоянии r = 5 см от оси?

2.51. Тело соскальзывает с вершины наклонной плоскости, основание которой d = 2,0 м. Коэффициент трения равен μ = 0,25. При какой высоте плоскости время, за которое тело соскользнет с плоскости, будет наименьшим?

2.52. Тело массой m = 50 кг находится на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения μ = 0,4. Под каким углом к горизонту α надо приложить к телу силу F = 300 Н, чтобы тело двигалось с наибольшим ускорением? Каково наибольшее ускорение?

2.53. Ведерко с песком и груз в начальный момент времени имеют одинаковую массу m₀ = 0,5 кг и связаны нитью, перекинутой через невесомый блок. При t = 0 из ведерка через отверстие в дне начал высыпаться песок в количестве μ = 50,0 г/с. Пренебрегая трением в блоке, найти, какое расстояние пройдет груз за первые 5 cекунд движения (считать, что за это время песок высыпался не полностью).

2.54. Два связанных веревкой груза массами m₁ = 10,0 кг и m₂ = 20,0 кг тянут по горизонтальной поверхности, прикладывая cилу F = 100 Н к одному из них. Под каким углом a к горизонту надо приложить силу F, чтобы ускорение грузов было наибольшим? Рассчитать наибольшее ускорение, если коэффициент трения грузов о поверхность μ = 0,3.

2.55. На гладкой цилиндрической поверхности радиусом R = 1,0 м лежит гибкий шнур. Верхняя точка поверхности делит шнур на части, длина которых l₁ = π/6 м и l₂ = π/4 м. Шнур расположен перпендикулярно образующей цилиндра, и в момент времени t = 0 его скорость V₀ = 0. Пренебрегая трением, найти ускорение шнура, с которым он начнет соскальзывать с поверхности.

Дата добавления: 2014-11-07