Многочлени над полем

Полем називається комутативне кільце, для будь-якого ненульового елемента якого існує обернений.

Поля.

Кільця

Асоціативним кільцем називається множина з двома операціями, що називаються додаванням і множенням і для яких виконуються наступні аксіоми.

1.Ассоциативнось додавання:.

2. Коммутативность додавання:.

3. Можливість розв'язання рівняння для усіх.

4. Ассоциативнось для множення:.

5. Дистрибутивность при множенні зліва:.

6. Дистрибутивность при множенні зправа:.

Звичайно під назвою «кільце» розуміється асоціативне кільце.

Кільце називається неасоціативним, якщо операція множення не є асоціативною. Кільце називається комутативним, якщо коммутативна операція множення.

У кільці існує нуль - одиничний елемент відносно додавання. Одиничний елемент відносно множення, з властивістю, не обов'язково існує.

Прикладом комутативного кільця без одиниці є множина парних чисел зі звичайними операціями додавання і множення.

У кільці з одиницею можливе існування елемента, оберненого до елемента, з умовою. Такі елементи називаються оборотними.

Множина оборотних елементів кільця з одиницею складає групу - т.зв. мультиплікативну групу кільця. Мультиплікативна група кільця називається групою одиниць і позначається або.

Прикладом комутативного кільця з одиницею є множин цілих чисел. Група одиниць цього кільця складається з двох елементів:.

Зауваження. Нехай. Тоді діленням елемента на елемент називається операція.

Приклади: поле раціональних дробів, дійсних чисел і поле комплексних чисел. Очевидно,. Говорять, що є підполем (крім того, підполем поля). З іншого боку, поля і називаються надполями або розширеннями поля.

Поле, що не є надполем ні для яких підполей називається простим (наприклад, поле - простуе).

Існують поля, що складаються із скінченного числа елементів. Такі поля називаються полями Галуа. Виявляється, число елементів скінченного поля завжди є степенем деякого простого числа:. Поле Галуа, що складається з елементів, позначається або. Оскільки мультиплікативна група поля складається з елемента, то,.

Адитивна група поля має фундаментальну особливість: результат додавання будь-якого елемента поля раз самим із собою дорівнює нулю. Число називається характеристикою поля, якщо сума, що складається з одиниць дорівнює нулю і - мінімальне число з такою властивістю. Характеристика поля позначається.

Адитивній групі поля такої властивості не має. У подібних випадках характеристика поля вважається рівною нулю.

Многочлен над полем - це функція виду, де,. Ціле число називається степенем многочлена і позначається.

Аналогічно визначається многочлен над комутативним кільцем. Множина усіх многочленів від однієї змінної над комутативним кільцем також є кільцем.

Якщо, по многочлен називається зведеним (нормованим, унітарним). Многочлен називається дільником многочлена, якщо існує многочлен, такий, що,.

Спільним дільником двох многочленів називається многочлен, що ділить обидва зазначені многочлени.

Тому дільники многочленів визначаються з точністю до константи.

Найбільшим спільним дільником двох многочленів називається многочлен, такий, що для будь-який загальний дільник многочленів і ділить.

Звичайно, в якості вибирається нормований многочлен.

Визначення. Многочлен ненульового степеня називається незвідним, якщо він ділиться тільки на константи і сам на себе.

Дата добавления: 2014-10-15