Задачи 11 и 12

Интегрирование элементарных дробей.

Интегрирование по частям.

Непосредственное интегрирование.

Методы интегрирования.

Рассмотрим три основных метода интегрирования.

Метод непосредственного интегрирования основан только на применении свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов основных функций.

Способ подстановки (замены переменных).

Теорема: Если требуется найти интеграл, но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Пример. Найти неопределенный интеграл.

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

Пример.

Замена Получаем:

Основано на следующей формуле:

;

Пример.

Пример.

Перенесем последний интеграл в левую часть равенства.

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

I. III.

II. IV.

m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и b² – 4ac <0.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

I.

II.

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.

Пример.

Пример.

Пример.

Для решения задач 11 и 12 необходимо изучить раздел 6 Рабочей программы – определенный интеграл. Приведем основные теоретические факты, необходимые здесь.

Интегральные суммы.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

y

M

m

0 a x_i b x

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n

Тогда x₁ – x₀ = Dx₁, x₂ – x₁ = Dx₂, …,x_n – x_n-1 = Dx_n;

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.

x₀ < e₁ < x₁, x₁ < e < x₂, …, x_n-1 < e < x_n.

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

S_n = f(e₁)Dx₁ + f(e₂)Dx₂ + … + f(e_n)Dx_n =

Обозначим maxDx_i – наибольший отрезок разбиения. Если maxDx_i® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

Если, то

Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDx_i® 0 и произвольном выборе точек e_i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

Обозначение:

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

1)

2)

3)

4) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то

5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

6) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что

7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

8)

Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и j(x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция j(х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка e, такая, что

Вычисление определенного интеграла.

Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x).

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Методы интегрирования определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

Дата добавления: 2014-10-15