Определенный интеграл

Обобщим методы интегрирования и представим их в виде таблицы.

№ п/п	Вид интеграла	Метод интегрирования
		Интегрирование с применением компенсирующего множителя, т.е.
		Интегрирование введением функции под дифференциал, т.е.
		Применение обобщенного второго табличного интеграла, т.е.
		Интегрирование с помощью формулы:
		Замена переменной: подстановка
		Интегрирование по частям: подстановки
		Интегрирование по частям: подстановки
		Интегрирование по частям применяется дважды: в качестве множителя берется функция одного и того же типа: показательная или тригонометрическая
		Интегрирование по частям применяется дважды: подстановки
		Интегрирование простейшей дроби I типа:
		Интегрирование простейшей дроби II типа:
		Интегрирование простейшей дроби III типа: в выражении, стоящем в знаменателе, выделяют полный квадрат и применяют подстановку
		Рекуррентная формула:
		Интегрирование простейшей дроби IV типа: в выражении, стоящем в знаменателе, выделяют полный квадрат, вводят новую переменную и применяют рекуррентную формулу
	– неправильная рациональная дробь	В подынтегральной дроби выделяют целую часть:
	– правильная рациональная дробь	Подынтегральную дробь раскладывают на сумму простейших дробей: или
		Подстановка:, где
		, где – новая переменная, а – наименьшее общее кратное чисел
		Выделяется полный квадрат в подкоренном выражении и полученную в скобках сумму принимают за новую переменную
		Представить подынтегральное произведение в виде суммы, используя формулы:
	, где n и m – целые числа.	n – нечетное положительное число, m – любое, применяется подстановка. m – нечетное положительное число, n – любое, применяется подстановка. и – четные положительные числа. В этом случае хороший результат дает применение формул:
		Универсальная тригонометрическая подстановка:
		Подстановка:
		Подстановка:
		Подстановка:
		Подстановка:
		Подстановка:

2.1. Понятие определенного интеграла.
Площадь криволинейной трапеции

Пусть на отрезке задана неотрицательная функция,.

Определение. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью, линией, с которой любая прямая, параллельная оси, пересекается не более, чем в одной точке, и прямыми и.

Поставим задачу: найти площадь криволинейной трапеции.

Рис. 2.1 Рис. 2.2

Рассмотрим одну такую полоску (рис. 2.2), основанием которой является отрезок и найдем ее площадь. На отрезке возьмем произвольную точку и найдем значение функции в этой точке:. Величина равна длине k -й части отрезка. Рассмотрим прямоугольник с высотой и основанием.

Площадь прямоугольника приближенно равна площади рассматриваемой криволинейной полоски, которую мы обозначим, т. е.

Таким же образом поступим со всеми полосками, на которые мы разбили криволинейную трапецию. Тогда площадь криволинейной трапеции:

Это равенство будет тем точнее, чем меньше основания полосок. Обозначим называется рангом дробления, устремим к 0. Тогда площадь криволинейной трапеции равна

где сумма вида называется интегральной суммой для функции на.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции выражается как предел, к которому стремятся площади криволинейных полосок, если длины их оснований стремятся к нулю, а количество рассматриваемых криволинейных полосок неограниченно растет.

Определение. Предел интегральной суммы при стремлении, если он существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек, называется определенным интегралом от функции по промежутку, обозначается, а сама функция называется интегрируемой на отрезке, т. е.:

При этом число называется нижним пределом интервала, число – его верхним пределом; функция – подынтегральной функцией, выражение – подынтегральным выражением, а задача о нахождении – интегрированием функции на отрезке.

Теорема 2.1. Если функция непрерывна на то она интегрируема на этом промежутке.

Теорема 2.2. Если функция ограничена на и имеет на конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на.

Из рассмотренной выше задачи вытекает геометрический смысл определенного интеграла: равен площади криволинейной трапеции.

Замечание 1. Для определенного интеграла не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования, т. е.:

так как смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы.

Замечание 2. Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы – существенно различные понятия: в то время как представляет семейство функций, есть определенное число.