Несобственные интегралы

3.1. Несобственные интегралы
с бесконечными пределами интегрирования

В предыдущих подразделах, рассматривая определенные интегралы, мы подразумевали, что интервал интегрирования конечен, и подынтегральная функция на нем непрерывна. Но довольно часто возникает необходимость распространить определение определенного интеграла на случаи бесконечного интервала интегрирования и разрывной подынтегральной функции. Несобственные интегралы бывают двух видов.

Пусть функция непрерывна при всех значениях из интервала. Рассмотрим. На интервале функция непрерывна, и мы можем вычислить интеграл

.

Пусть.

Определение. Несобственным интегралом первого рода от функции называется предел интеграла при. Записывается это так:

.

Если предел существует и конечен, то интеграл сходится. Если предел не существует, то интеграл расходится.

Если первообразная функция для подынтегральной функции известна, то легко установить, сходится несобственный интеграл или нет. С помощью формулы Ньютона – Лейбница получаем

.

Вычислить несобственный интеграл – это значит найти число (точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он расходится (например, получить в итоге бесконечность вместо числа).

Аналогично определяется несобственный интеграл на интервале:

.

Если функция определена и непрерывна на всей числовой оси, то можно рассматривать несобственный интеграл на интервале. Пусть для некоторого числа несобственные интегралы и сходятся. Тогда

.

При этом интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть, расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся. Введенное определение не зависит от выбора числа.

Сходящемуся несобственному интегралу можно придать определенный геометрический смысл. Он заключается в следующем: это площадь бесконечно длинной области, ограниченной сверху неотрицательной функцией, снизу осью, слева – прямой (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям, площадь которых конечна (хотя сама область неограничена), а расходящиеся (в случае) – неограниченным областям с бесконечной площадью. В случае, когда при, часто пишут формально:

однако нужно ясно понимать, что эта запись означает расходимость интеграла и отсутствие у него числового значения.

Само определение значения интеграла через предел интегралов по конечным, но увеличивающимся отрезкам означает исчерпание площади путем учёта все большей её части правый вертикальный отрезок, проведённый при, отодвигается всё дальше и дальше в бесконечность (рис. 3.2); в пределе будет учтена вся площадь под графиком.

Рис. 3.2

Если несобственный интеграл сходится, то будем говорить, что заштрихованная фигура на рис. 3.1 имеет площадь, равную этому интегралу. Если интеграл расходится, то говорить о площади фигуры нельзя.

Заметим, что на несобственные интегралы без всяких изменений переносятся простейшие свойства определенного интеграла, если только все интегралы сходятся.

Запишем два замечательных несобственных интеграла, которые встречаются в приложениях:

(интеграл Пуассона);

(интеграл Дирихле).

Пример. Вычислить несобственные интегралы:

1.. 2.. 3.

Решение

1. По определению имеем:

2..

Интеграл расходится.

3.

не существует, следовательно, интеграл расходится.

Дата добавления: 2014-10-15