Метод Адамса-Маултона

Метод Адамса-Башфорта.

Этот метод был разработан математиком Адамсом в 1855 г. по просьбе известного английского артиллериста Башфорта, занимающегося внешней баллистикой. Он является многошаговым явным методом, полученным из равенства (5.55) при условии:

; ;,

т. е.:

.(5.64)

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1) .

Из (5.61) следует: и . В этом случае мы имеем дело с методом Адамса-Башфорта первого порядка, который совпадает с явным методом Эйлера.

2) ; ; .

Подставив эти коэффициенты в (5.55) имеем метод Адамса-Башфорта второго порядка

3) ; ; ; .

Имеем метод Адамса-Башфорта третьего порядка:

и т. д.

Метод Адамса-Маултона является неявным многошаговым методом, полученным из уравнения (5.55) при условии:

; , (5.67)

откуда следует:

Для разных имеем:

1) , метод Адамса-Маултона первого порядка:

,

который совпадает с неявным методом Эйлера.

2) , метод Адамса – Маултона второго порядка:;

.

В этом случае полученное выражение совпадает с улучшенным методом Коши-Эйлера.

3) , метод Адамса-Маултона третьего порядка:

; ; ;

.

В отличие от одношаговых методов, многошаговые методы не являются самоначинающимися, т. к. вначале задается только и , а для применения формулы на первом шаге необходимо знать еще предыдущих шагов, которые пока не сделаны. Чтобы найти необходимые значения функции на предыдущих шагах, используют одношаговые методы, например Эйлера или Рунге-Кутта. Ясно, что одношаговый метод должен применяться, по крайней мере, на первых +1 шагах, а затем можно использовать многошаговый метод. Т. о. эффективные и численные методы для решения задач интегрирования с начальными условиями почти всегда являются комбинацией одношаговых и многошаговых методов.

Дата добавления: 2014-10-15