Методические указания к решению задачи

ЗАДАЧА № 2. Расчет моментов инерции плоского сечения, имеющего ось симметрии

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Что такое продольная (нормальная) сила? Какой порядок ее определения в произвольном поперечном сечении бруса (стержня) или стержневой системы?

2. Как определяются нормальные напряжения в стержне? Как определяются максимальные нормальные напряжения в ступенчатом стержне? в стержневой системе?

3. Как определяются продольные деформации в стержне?

4. Как связаны продольная и поперечная деформации в стержне при растяжении (сжатии)? Как называются упругие характеристики материала?

5. Как формулируется и записывается закон Гука для участка стержня при растяжении (сжатии)?

6. Как определяются продольные перемещения сечений в стержне?

7. Какие основные задачи решаются на основе условия прочности?

8. Как определяются перемещения узлов в стержневой системе?

9. Какие задачи называются статически определимыми? Как определяются усилия в стержнях и реакции связей в статически определимой стержневой системе?

10. Какие задачи называются статически неопределимыми? Как определяются усилия в стержне с жёстко закреплёнными концами?

Варианты тестовых заданий

2.1	Восстановить внешнюю силу F2 по заданной эпюре продольной силы	2.2	Восстановить внешнюю силу F3 по заданной эпюре продольной силы
2.3	На диаграмме деформирования укажите упругую составляющую деформации	2.4	Для заданного стержня постоянного сечения площадью А определить соотношение между силами F2 и F1, если задана эпюра перемещений. Модуль Юнга материала – Е.
2.5	Для заданного стержня постоянного сечения площадью А определить sмах по абсолютному значению	2.6	Для заданного стержня постоянного сечения площадью А определить продольное перемещение сечения I. Модуль Юнга материала – Е
2.7	Для заданного стержня постоянного сечения площадью А определить полное продольное перемещение. Модуль Юнга материала – Е.	2.8	На условной диаграмме деформирования укажите предел текучести материала
2.9	Для заданного стержня постоянного сечения площадью А определить силу F1, необходимую для выбора монтажного зазора δ. Модуль Юнга материала (Е) задан.	2.10	Для заданного стержня постоянного сечения площадью А определить соотношение между силами F и F1, если полное продольное перемещение Δl=0 и Е∙ А=const. Е - модуль Юнга материала.

Дано: Форма и размеры плоского сечения.

Исходные данные для решения задачи в соответствии с индивидуальным шифром варианта задания указаны в Приложении В.

Требуется:

1) начертить в масштабе заданное сечение;

2) определить положение центра тяжести;

3) определить моменты инерции сечения относительно главных центральных осей;

4) радиус инерции сечения в главной центральной системе координат.

При расчете на изгиб, кручение и другие виды более сложного нагружения для оценки прочности и жесткости бруса недостаточно знать только площадь его поперечного сечения, требуется определять другие геометрические характеристики сечения: статический момент площади, осевые, центробежный и полярный моменты инерции.

Рассмотрим произвольную плоскую фигуру площадью A, отнесенную к системе координат zoy (Рисунок 3.1).

Обозначим: dA - площадь элементарной площадки; y, z - расстояние ее центра тяжести до осей координат.

Выражения вида

называются статическими моментами площади относительно осей y и z соответственно.

Зная величины статических моментов площади фигуры, можно вычислить координаты ее центра тяжести. Если заданное сечение можно разбить на части, для которых известны положения их центров тяжести и величины площадей, координаты центра тяжести всей фигуры определяются по формулам

Рисунок 3.1 – Плоская фигура

где n - число элементов, на которое разбивается сечение; A_i - площади отдельных элементов сечения; - координаты центров тяжести этих элементов в выбранной системе координат y, z.

Центр тяжести лежит на оси симметрии сечения, а если таких осей несколько - в точке их пересечения.

Моментами инерции (осевыми моментами инерции) относительно осей y и z соответственно называются интегралы вида

Для простейших фигур и прокатных профилей величины моментов инерции приводятся в учебной и справочной литературе.

Выражение называется центробежным моментом инерции.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями. Если хотя бы одна из выбранных координатных осей является осью симметрии, то обе эти оси будут главными. Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей называются главными центральными моментами инерции. Они являются экстремальными по величине: один из них максимален, другой минимален.

Осевой момент инерции составного сечения вычисляется как сумма осевых моментов инерции отдельных составляющих фигур относительно одной и той же оси. При этом в таблицах сортамента прокатных профилей моменты инерции простых элементов опре­делены относительно их собственных центральных осей, которые показываются на чертежах. Центральные оси составной фигуры обычно не совпадают с табличными. Тогда для вычисления моментов инерции подобных фигур приходится использовать зависимость между моментами инерции относительно парал­лельных осей:

где - моменты инерции сечения относительно произвольных осей; - моменты инерции сечения относительно центральных осей; A - площадь фигуры; a и в - расстояние между осями y, y₀ и z, z₀ соответственно.

Дата добавления: 2014-10-15