Построение касательных к окружностям

Сопряжение двух заданных окружностей

При решении задач на сопряжение двух окружностей следует учитывать, что множества точек плоскости, удаленных от этих окружностей на равные расстояния, представляют собой концентрические окружности, радиусы которых равны сумме или разно­сти радиуса заданной окружности и радиуса сопряжения. Точка пересечения этих окружностей есть центр сопряжения. Точки со­пряжения определяются как точки пересечения прямых, соеди­няющих центры заданных окружностей с центром сопряжения.

Пусть заданы окружности с центрами в точках О₁ и О₂ (рис. 1.26), имеющие радиусы R₁ и R₂ соответственно. Требуется выполнить внешнее сопряжение этих окружностей дугой окруж­ности радиусом R_с.

Из центра О₁ проводят дугу окружности радиусом R₃, рав­ным сумме радиусов R₁ и R₂, а из центра О₂ — дугу окружнос­ти радиусом R₄, равным сумме радиусов R₂ и R_с. Точка С пере­сечения этих дуг является цент­ром сопряжения, а точки К₁ и К₂ пересечения прямых О₁С и О₂С с соответствующими окружнос­тями — точками сопряжения. Оп­ределив основные параметры сопряжения, можно из центра С между точками К₁ и К₂ провести дугу окружности радиусом R_с.

Если необходимо выполнить внутреннее сопряжение окруж­ностей с радиусами R₁ и R₂ и центрами в точках О₁ и О₂ (рис. 1.27), то для определения центра их сопряжения С надо про­вести дуги окружностей радиусами R₃ и R₄, равными разностям радиуса сопряжения R_с и соответственно радиусов R₁ и R₂ задан­ных окружностей. Точки К₁ и К₂ сопряжения находятся на продол­жении прямых, соединяющих центр сопряжений С с центрами окружностей О₁ и О₂.

Если же радиус сопряжения R_с задан (рис. 1.28) и для одной из окружностей (с центром О₁ и радиусом R₁) следует выполнить внутреннее сопряжение, а для другой (с центром О₂ и радиусом R₂) — внешнее, то для определения центра сопряжения С надо из точки О₁ провести дугу окружности радиусом R₃, равным сумме радиуса сопряжения R_с и радиуса окружности R₁, а из точки О₂ -дугу окружности радиусом R₄, равным разности радиуса сопря­жения R_с и радиуса окружности R₂. При этом точка сопряжения К₁ будет находиться на пересечении прямой О₁С с окружностью, имеющей радиус R₁, а точка сопряжения К₂— на пресечении ок­ружности, имеющей радиус R₂, с продолжением прямой О₂С.

Рассмотрим задачу, лежащую в основе решения других задач на проведение касательных к окружностям. Пусть из точки А (рис. 1.29) необходимо провести касательные к окружности с центром в точке О.

Рис. 1.29

Для точного построения касательных необходимо определить точки касания прямых и окружности. Для этого точку А следует соединить с точкой О и разделить отрезок АО пополам. Из середи­ны отрезка — точки С, как из центра, надо описать окружность, диаметр которой должен быть равен отрезку АО. Точки К₁ и К₂ пересечения окружностей с центром С и центром О являются точками касания прямых АК₁ и АК₂ к заданной окружности.

При построении касательных к двум окружностям различают касательные внешние и внутренние. Если центры заданных ок­ружностей располагаются по одну сторону от касательной, то ее считают внешней, а если центры окружностей находятся по раз­ные стороны от касательной, то — внутренней.

Пусть заданы ок­ружности с центрами в точках О₁ и О₂ (рис. 1.30), имеющие радиусы R₁ и R₂ соответственно. Требуется провести внешние каса­тельные.

Рис. 1.30

Для точного построения следует определить точки касания пря­мых к заданным окружностям. Если радиусы окружностей с цент­рами О₁ и О₂ начать последовательно уменьшать на одно и то же значение, можно получить ряд концентрических окружностей меньших диаметров. При этом в каждом случае уменьшения ради­уса касательные к меньшим окружностям будут параллельны искомым. После уменьшения обоих радиусов на размер меньшего радиуса К₂ окружность с центром О₂ обратится в точку, а окруж­ность с центром О₁ преобразится в концентрическую окружность с радиусом R₃, равным разности радиусов R₁ и R₂.

Используя описанный ранее способ, из точки О₂ проводят внешние касательные к окружности с радиусом R₃, т.е. соединя­ют точки О₁ и О₂, делят точкой С отрезок О₁О₂ пополам и прово­дят радиусом СО₁ дугу, пересечение которой с заданной окруж­ностью определит точки касания прямых О₂К₁ и О₂К₂.

Точки А₁ и А₂ касания искомых прямых к большей окружности располагаются на продолжении прямых О₁К₁ и О₁К₂. Точки В₁ и В₂ касания прямых к меньшей окружности находятся на перпенди­кулярах с основанием О₂ к вспомогательным касательным О₂К₁ и О₂К₂ соответственно. Располагая точками касания, можно провес­ти искомые прямые А₁В₁ и А₂В₂.

Пусть заданы окружности с центрами в точках О₁ и О₂ (рис. 1.31), имеющие радиусы R₁ и R₂ соответственно. Требуется провести внутренние касательные.

Для определения точек касания прямых к окружностям исполь­зуем рассуждения, аналогичные приведенным при решении пре­дыдущей задачи. Если уменьшить радиус R₂ до нуля, то окружность с центром О₂ обратится в точку. Однако в этом случае для сохранения параллельности вспомогательных касательных с ис­комыми радиус R₁ следует увеличить на значение R₂ и провести окружность радиусом R₃, равным сумме R₁ и R₂.

Из точки О₂ необходимо провести касательные к окружности, имеющей радиус R₃, для чего надо соединить точки О₁ и О₂, раз­делить точкой С отрезок О₁О₂ пополам и провести дугу окружно­сти с центром в точке С и радиусом СО₁. Пересечение этой дуги с окружностью, имеющей радиус R₃, определит положение точек К₁ и К₂ касания вспомогательных прямых О₂К₁ и О₂К₂.

Точки А₁ и А₂ касания искомых прямых с окружностью, име­ющей радиус R₁ находятся на ее пересечении с отрезками О₁К₁ и О₁К₂. Для определения точек В₁ и В₂ касания искомых прямых с окружностью, имеющей радиус R₂, следует из точки О₂ восста­вить перпендикуляры к вспомогательным прямым О₂К₁ и О₂К₂ до пересечения с заданной окружностью. Располагая точками каса­ния искомых прямых и заданных окружностей, можно провести прямые А₁В₁ и А₂В₂.

Литература

Инженерная графика (металлообработка): учебник для стул. сред. проф. образования/А. М.Бродский, Э.М.Фазлулин, В.А.Халдинов. — 3-е изд., испр. — М.: Издательский центр «Академия», 2007. — 400 с.

Дата добавления: 2014-10-15