Функции многих переменных

Функции двух переменных.

Функции одной переменной.

Элементарные функции.

Пример 2.1.

Для функций трёх переменных (n=3) существует 2³ = 8 наборов:

c b a <0 0 0> <0 0 1> <0 1 0> <0 1 1> <1 0 0> <1 0 1> <1 1 0> <1 1 1>

№ набора (десятичное число)

Здесь переменная «а» образует младший разряд двоичного числа.

Общее число функций n-переменных –. Если функция определена на всех своих 2ⁿ наборах, то она называется полностью определённой, в противном случае – не полностью определённой. Наборы, на которых функция не определена, называются запрещёнными. Значения переменных, соответствующие этим наборам, не должны появляться на входе схемы.

Элементарные функции – функции одной или двух переменных. Роль элементарных функций велика, т.к они позволяют представлять функцию от любого числа переменных.

n=1 - количество переменных; 2¹ =2 - количество наборов; 2² =4 – число функций;

X	F1	F2	F3	F4

F₁º0 - константа нуль (в положительной логике это «земля»);

«0».

Элемент повторения.

F₂=X - функция повторения, реализуется на элементе повторения;

Элемент «НЕ».

F₃= - функция отрицания (инверсия), реализуется на элементе «НЕ»;

F₄º1 - константа единица;

n=2 –количество переменных; 2² =4 –количество наборов; 2⁴ =16 –число функций;

X1

X2

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F9

F10

F11

F12

F13

F14

F15

F16

º0

X1ÙX2

X1

X2

X1ÚX2

X1¯X2

X1∞X2

X1X2

X1®X2

X1|X2

º1

Из перечисленных функций шесть (F₁, F₄, F₆, F₁₁, F₁₃, F₁₆) являются ранее рассмотренными функциями одной переменной, и только десять функций по существу являются функциями двух переменных.

Элемент «И»

F₂= X₁ÙX₂ = X₁&X₂ = X₁ X₂ -конъюнкция, функция «и», логическое умножение, реализуется на элементе «И»;

Элемент «ИЛИ».

- дизъюнкция, функция «ИЛИ», логическое сложение, реализуется на элементе «ИЛИ»;

Элемент «И-НЕ».

- штрих Шеффера, реализуется на элементе «И-НЕ»;

Элемент «ИЛИ-НЕ».

– стрелка Пирса, реализуется на элементе «ИЛИ-НЕ»;

Элемент «исключающее ИЛИ».

- функция сложения по модулю два, функция «исключающее ИЛИ», функция отрицания равнозначности, реализуется на элементе «исключающее ИЛИ»;

- функция равнозначности, отрицание функции сложения по модулю два;

- функция импликации от Х₁ к Х₂, прямая импликация, «ЕСЛИ…ТО…»

- отрицание прямой импликации;

- импликации от Х₂ к Х₁, обратная импликация;

- отрицание обратной импликации.

Для функций F₁₀, F₁₄, F₁₂, F₅, F₃ не существует отдельных логических элементов, но они могут быть реализованы на других элементах.

Функцию многих переменных можно выразить через элементарные функции. Для этого вводится понятие функционально-полной системы функций. Система элементарных функций называется функционально полной, если через неё можно выразить функцию любого числа переменных. Функционально полная система функций образует логический базис.

Примеры базисов:

1), Ú -дизъюнктивный базис;

2), Ù -конъюнктивный;

3), Ú, Ù -булевский базис (смешанный);

4) | -штрих Шеффера;

5) ↓ -стрелка Пирса;

6) |, «1»;

7) ↓, «0»;

8) →, «0»;

9) →, «1»;

10) →, mod2;

11) &, mod2, 1 –базис Жегалкина.

Система функций, образующая булевский базис, наиболее изучена и используется для построения устройств в любых других базисах. Поэтому его роль при построении комбинационных схем велика.

Основные законы булевского базиса:

1) закон идемпотентности

аÚ а=а; аÙ а=а;

2) коммутативный (переместительный) закон

аÚ в=вÚ а; аÙ в= вÙ а;

3) ассоциативный (сочетательный) закон

аÚ (вÚ с)=(аÚ в)Ú с; аÙ(вÙ с)=(аÙ в) Ù с;

4) дистрибутивный (распределительный) закон

аÙ (вÚ с)= (аÙ в) Ú (аÙ с); аÚ (вÙ с)= (аÚ в) Ù (аÚ с);

5) закон двойного отрицания

;

6) законы двойственности (правила де Моргана)

;;

Его можно распространить на любое число переменных n:

7) закон склеивания

; (склейка по b)

;

8) закон поглощения

а + ав= а; а(а + в)=а.

9) Правило введения и исключения лишних связок:

;

.

Действия с константами «0» и «1»:

;;;

;;.

Дата добавления: 2014-10-15